Fourier-Reihe: die Geschichte und der Einfluss des mathematischen Mechanismus für die Entwicklung von Wissenschaft

Fourier series – Diese Ansicht beliebig Funktionen auf die Zeit in einer Reihe gewählt. Im Allgemeinen ist diese Lösung das Expansionselement auf einer orthogonalen Basis bezeichnet. Die Erweiterung der Funktionen in Fourier-Reihe ist ein sehr leistungsfähiges Werkzeug für verschiedene Probleme aufgrund der Eigenschaften der Transformation in der Integration, Differentiation, sowie eine Verschiebung des Argumentausdruck und Faltung zu lösen.

Eine Person, die nicht vertraut sind mit der höheren Mathematik ist, sowie mit den Werken des Französisch Wissenschaftler Fourier, wird höchstwahrscheinlich nicht verstehen, was die „Reihen“ und was sie tun. Doch diese Transformation ist ziemlich fest unser Leben getreten. Es ist nicht nur Mathematik, sondern auch Physiker, Chemiker, Ärzte, Astronomen, Seismologen, Ozeanographen und andere. Lassen Sie uns auch einen genaueren Blick mit den Werken der großen Französisch Wissenschaftler nehmen, der die Entdeckung gemacht, seine Zeit voraus.

Der Mann und die Fourier-Transformation

Fourier – Reihe ist eine der Methoden (zusammen mit der Analyse und anderen) der Fourier – Transformation. Dieser Prozess findet jedes Mal eine Person keinen Ton hört. Unser Ohr automatisch wandelt die Schallwelle. Oszillationsbewegung der Elementarteilchen in einem elastischen Medium in der Serie (das Spektrum) aufeinanderfolgenden Volumenwerte für Töne unterschiedlicher Höhe erweitert. Als nächstes wandelt das Gehirn diese Daten in vertraute Klänge für uns. All dies ist zusätzlich zu unserem Wunsch, oder das Bewusstsein selbst, sondern um die Prozesse zu verstehen, die mehrere Jahre dauern, höhere Mathematik zu studieren.

Lesen Sie mehr über die Fourier-Transformation

Die Fourier-Transformation kann analytisch durchgeführt, Ziffern und andere Methoden. Fourier-Reihe ist Ziffer Prozess keine oszillatorischen Prozesse zum Zersetzen – aus dem Meer Gezeiten und Wellen des Lichts Sonnenzyklen (und anderen astronomischen Objekten) -Aktivität. Unter Verwendung dieser mathematischen Techniken ist es möglich, die Funktion zu demontieren, was jegliche Schwingungsvorgänge in einer Reihe von sinusförmigen Komponenten, die vom Minimum zum Maximum gehen und umgekehrt. Die Fourier-Transformation ist eine Funktion beschreibt, die Phase und Amplitude von Sinusoiden auf eine bestimmte Frequenz entspricht. Dieser Prozess kann für die Lösung eine sehr komplexen Gleichungen verwendet werden, die die dynamischen Prozesse beschreiben, unter der Einwirkung von Wärme, Licht oder elektrischer Energie erfolgt. Außerdem verwendet die Fourier-Reihe DC-Komponenten in komplexen Wellenformen zu unterscheiden, was es ermöglicht, richtig die experimentellen Beobachtungen in Medizin, Chemie und Astronomie zu interpretieren.

historische Informationen

Der Gründervater dieser Theorie ist der Französisch Mathematiker Zhan Batist Zhozef Fure. Sein Name später und diese Transformation aufgerufen wurde. Zunächst verwendeten die Forscher eine Technik zu studieren und um die Mechanismen der thermischen Leitfähigkeit zu erklären – Wärmeausbreitung in Feststoffen. Fourier vorgeschlagen, dass die anfängliche unregelmäßige Verteilung der thermischen Welle in einfacher sinusoid zerlegt werden kann, von denen jeder seine Temperatur Minimum und Maximum, wie auch seine Phase haben werden. Somit ist jede solche Komponente vom Minimum zum Maximum und umgekehrt gemessen werden. Die mathematische Funktion, die die oberen und untere Spitzen der Kurve beschreibt, sowie die Phase jeden Harmonischen, die Fourier-Transformation der Temperaturverteilung des Ausdrucks bezeichnet. Der Autor der Theorie der reduzierten Gesamtverteilungsfunktion, die mathematische Beschreibung, in einer sehr einfachen schwierig ist , eine Zahl zu behandeln periodischer Funktionen von Sinus und Cosinus, in Höhe des Gebens der Anfangsverteilung.

Das Prinzip der Umwandlung und die Ansichten der Zeitgenossen

Zeitgenossen des Wissenschaftlers – der führende Mathematiker des frühen neunzehnten Jahrhunderts – nicht akzeptieren, diese Theorie. Der Haupt Einwand war die Genehmigung der Fourier daß die diskontinuierliche Funktion eine gerade Linie oder eine Kurve beschreiben, zerrissen ist, kann es als eine Summe von Sinus Ausdrücke dargestellt werden, die kontinuierlich sind. Als Beispiel betrachten wir einen „Schritt“ Heaviside: sein Wert Null ist links von der Lücke und eine auf der rechten Seite. Diese Funktion beschreibt die Abhängigkeit des elektrischen Stroms auf den Zeitvariablen für die Verschlusskette. Moderne Theorie damals hatte nie eine solche Situation auftreten, wenn eine diskontinuierliche Expression durch eine Kombination von kontinuierlichen, gemeinsame Funktionen beschrieben werden würde, wie exponential, Sinus, linear oder quadratisch.

Was störte der Französisch Mathematiker in der Theorie des Fourier?

Schließlich, wenn ein Mathematiker zu Recht zu sprechen, dann, eine unendliche trigonometrische Fourierreihe Summieren ist es möglich, eine genaue Darstellung des Schrittes der Expression zu erhalten, auch wenn es eine Reihe von ähnlichen Schritten aufweist. Im frühen neunzehnten Jahrhundert, schien diese Aussage absurd. Doch trotz aller Zweifel haben viele Mathematiker, den Umfang der Untersuchung dieses Phänomens erweitert, es über die Wärmeleitung Studien bewegt. Allerdings setzte die meisten Wissenschaftler, die Frage leiden: „Kann die Summe der Sinuswelle Reihe konvergiert auf den exakten Wert einer diskontinuierlichen Funktion“

Die Konvergenz der Fourier-Reihe: Beispiel

Die Frage der Konvergenz steigt jedes Mal, wenn die Summe einer unendlichen Reihe von Zahlen benötigen. ein klassisches Beispiel für das Verständnis dieses Phänomen betrachten. Können Sie jemals die Wand erreichen, wenn jeder Schritt die Hälfte der vorherigen ist? Angenommen, Sie sind zwei Meter vom Ziel, der erste Schritt näher um auf halbem Weg, die nächsten – die Marke von einer Dreiviertel, und nach dem fünften, werden Sie fast 97 Prozent des Weges überwinden. Doch egal, wie viele Schritte, die Sie getan haben weder das beabsichtigte Ziel, das Sie in einem strengen mathematischen Sinne erreichen. Mit numerischen Berechnungen können wir, dass am Ende beweisen kann zu einem beliebig kleinen gegebenen Abstand näher. Dies ist äquivalent zu einem Nachweis zeigt, dass der Gesamtwert von einer Hälfte, ein Viertel, und so weiter. E. zur Einheit neigen.

Die Frage der Konvergenz: das zweite Kommen, oder Instrument von Lord Kelvin

Immer wieder stellte sich die Frage im späten neunzehnten Jahrhundert, als die Fourier-Reihe, die Intensität der Ebbe und Flut zu verwenden, haben versucht, vorherzusagen. Damals wurde Lord Kelvin erfundene Vorrichtung ein Analogrechner, die Segler Marine und Handelsmarine Monitor erlaubt ein natürliches Phänomen. Dieser Mechanismus definierten Satz von Phasen und Amplituden der Tischhöhe der Gezeiten und den entsprechenden Zeitpunkten, sorgfältig in den Hafen während des ganzen Jahres gemessen. Jeder Parameter wird eine sinusförmigen Komponente Expressions- tide Höhen und war eine der regulären Komponenten. Die Messergebnisse werden in die Rechenvorrichtung Lord Kelvin, Kurve Synthese, die als Funktion des folgenden Jahres Höhe des Wassers vorhergesagt. Sehr bald wurden diese Kurven für alle Häfen der Welt erstellt.

Und wenn der Prozess unstetige Funktion gebrochen werden?

Zu diesem Zeitpunkt schien es offensichtlich, dass das Gerät eine Flutwelle, mit vielen Elementen des Kontos der Vorhersage kann eine große Anzahl von Phasen und Amplituden berechnen und so eine genauere Vorhersage. Dennoch stellte sich heraus, dass dieses Muster nicht in Fällen beobachtet, wo die Gezeiten Ausdruck, die synthetisiert wird, einen scharfen Sprung enthalten ist, das heißt, diskontinuierlich sind. In dem Fall, dass die Vorrichtung Daten aus einer Tabelle von Zeitpunkt zu erfassen, berechnet es wenige Fourier-Koeffizienten. Wiedergewinnen der ursprünglichen Funktion aufgrund der Sinuskomponente (entsprechend den gefundenen Koeffizienten). Die Diskrepanz zwischen dem Original und dem rekonstruierten Ausdruck kann an jedem Punkt gemessen werden. Wenn die Wiederholungs Berechnungen und Vergleiche kann man erkennen, dass der Wert des größten Fehler nicht verringert wird. Sie sind jedoch in der Region lokalisiert zu dem Punkt des Reißens entspricht, und jeder andere Punkt auf Null tendieren. theoretisch Joshua Willard Gibbs von der Yale University im Jahr 1899 wurde dieses Ergebnis bestätigt.

Die Konvergenz der Fourier-Reihe und die Entwicklung der Mathematik als Ganzes

Fourier-Analyse findet keine Anwendung auf Ausdrücke eine unendliche Anzahl von Bursts in einem bestimmten Intervall enthalten. Im allgemeinen Fourier-Reihe, wenn die ursprüngliche Funktion, die durch das Ergebnis der tatsächlichen physikalischen Messungen repräsentiert wird, immer konvergieren. Fragen der Konvergenz dieses Verfahren für bestimmte Klassen von Funktionen haben, um neue Zweige der Mathematik geführt, wie die Theorie der verallgemeinerten Funktionen. Es ist im Zusammenhang mit Namen wie Schwartz, J .. Mikusiński und J. Temple. Nach dieser Theorie hat sich eine klare und präzise theoretische Grundlage für eine solche Expression als das Dirac-Delta-Funktion festgelegt (es den Bereich eines einzelnen Bereich beschreibt, in einer infinitesimalen Umgebung des Punktes konzentriert) und „Schritt“ Heaviside. Durch diese Arbeit wurde Fourier-Reihe anwendbar für Gleichungen und Probleme zu lösen, die intuitiven Konzepte beinhalten: Punktladung, Punktmasse, magnetische Dipole und die konzentrierte Last auf dem Balken.

Fourier-Verfahren

Fourier-Reihen, in Übereinstimmung mit den Prinzipien der Interferenz, beginnen mit der Zersetzung von komplexen Formen in einfacher. Zum Beispiel kann eine Änderung in dem Wärmestrom aufgrund seiner Passage durch die verschiedenen Barrieren des Wärmeisoliermaterial von unregelmäßiger Form oder wechselnde Bodenoberfläche – ein Erdbebens, eine Änderung in der Umlaufbahn des Himmelskörpers – der Einfluss der Planeten. Typischerweise lösen diese Gleichungen beschreiben einfache klassische System elementar für jede einzelne Wellenlänge. Fourier hat gezeigt, daß einfache Lösungen können als für komplexere Aufgaben aufsummiert werden. In der Sprache der Mathematik, Fourier-Reihen – eine Methodik für die Abgabe der Expressions Summe von harmonischen – Cosinus- und Sinuswellen. Daher wird diese Analyse auch unter dem Namen „harmonische Analyse“ bekannt.

Fourier-Reihe – eine ideale Methode zum „Computerzeitalter“

Vor der Schaffung von Computer-Technologie Fourier-Methode ist die beste Waffe im Arsenal der Wissenschaftler mit der Welle Natur unserer Welt zu arbeiten. Fourier-Reihe in komplexer Form können Sie nicht nur auf einfache Probleme lösen, die zugänglich sind, Anwendung von Newtons Gesetzen der Mechanik zu lenken, sondern auch die Grundgleichungen. Die meisten der Entdeckungen der Newtonschen Wissenschaft des neunzehnten Jahrhunderts wurde erst möglich durch die Methode Fourier.

Fourier-Reihe heute

Mit der Entwicklung der Fourier-Transformations-Rechner auf ein neues Niveau gestiegen. Diese Technik wird in fast allen Bereichen der Wissenschaft und Technologie fest verankert. Als Beispiel eines digitales Audio und Video. Seine Umsetzung wurde von dem Französisch Mathematiker des frühen neunzehnten Jahrhunderts entwickelt nur möglich dank der Theorie gemacht. So hat die Fourier-Reihe in komplexer Form erlaubt einen Durchbruch in der Studie des Weltraums zu machen. Darüber hinaus hat er das Studium der Physik der Halbleitermaterialien und Plasma, Mikrowelle Akustik, Ozeanographie, Radar, Seismik betroffen.

Trigonometrische Fourier-Reihen

In der Mathematik ist eine Fourier-Reihe eine Möglichkeit, beliebige komplexe Funktionen als eine Summe von einfacher darzustellen. In allgemeinen Fällen kann die Anzahl von Ausdrücken unendlich sein. Je größer die Zahl der Berechnung gezählt werden, desto genauer ist das Endergebnis erhalten wird. Die häufigste Verwendung von einfachen trigonometrischen Cosinus oder Sinus-Funktion. In diesem Fall wird die Fourier-Reihe trigonometrische genannt, und die Entscheidung solchen Ausdrücke – harmonischer Zersetzung. Diese Methode spielt eine wichtige Rolle in der Mathematik. Zu allererst die trigonometrischen Reihen ein Mittel für das Bild liefern, als auch die Untersuchung der Funktionen ist es die Haupteinheit der Theorie. Darüber hinaus ermöglicht es uns eine Reihe von Problemen in der mathematischen Physik zu lösen. Schließlich ist diese Theorie zur Entwicklung beigetragen hat die mathematische Analyse, gab es Anlass zu einer Reihe von sehr wichtigen Zweigen der mathematischen Wissenschaft (Theorie der Integrale, die Theorie der periodischen Funktionen). Darüber hinaus ist der Ausgangspunkt für die Entwicklung der folgenden Theorien: Sets, Funktionen einer reellen Variablen, Funktionsanalyse, und auch die Grundlage für die harmonische Analyse gelegt.