Bases mathematische Analyse. Wie die Ableitung zu finden?

Ableitung einer Funktion f (x) an einer spezifischen Punkt x0 Funktion des Inkrement des Arguments genannten Wachstumsverhältnisgrenze, vorausgesetzt, daß x 0 ist, und die Grenze existiert. Derivative allgemein Schlaganfall, manchmal über den Punkt oder über ein Differential. Oft ist die Ableitung der grenzüberschreitenden irreführende Ergebnisse, da eine solche Darstellung wird selten verwendet.

-Funktion, die die Ableitung an einem bestimmten Punkt x0, genannt differenzierbar an einem solchen Punkt. Es sei angenommen, D1 – eine Vielzahl von Punkten, an denen die Funktion f differenziert wird. Zuordnen zu jedem eine der Zahlen x, D gehören , f ‚(x), so erhält man die Funktionsbezeichnung Bereich D1. Diese Funktion ist Ableitung von y = f (x). Wird bezeichnet als: f ‚(x).

Darüber hinaus in Physik und Technik der Ableitung verwendet. Betrachten wir ein einfaches Beispiel. Die Materialpunkt bewegt sich auf einer Koordinatenachse, die Frage, was das Bewegungsgesetz, das heißt, dieser Punkt x-Koordinate x (t) Funktion bekannt. Während des Zeitintervalls von t0 bis t0 + t gleich der Verschiebung des Punktes X (t0 + t) x (t0) = x, und die Durchschnittsgeschwindigkeit v (t) gleich x / t.

Manchmal ist die Art der Bewegung dargestellt, so dass die Durchschnittsgeschwindigkeit ändert sich nicht in kleinen Zeitintervallen, was bedeutet, dass die Bewegung mit einem höheren Grad an Genauigkeit betrachtet wird einheitlich sein. Alternativ kann der Wert der mittleren Geschwindigkeit , wenn t0 folgt bis zu einem gewissen absolut genauen Wert, und wird als die momentane Geschwindigkeit v (t0) dieser Punkt zu einem bestimmten Zeitmoment t0 bezeichnet. Es wird angenommen, daß die Momentangeschwindigkeit v (t) wird für jede differenzierte Funktion x (t) bekannt ist, zu welcher v (t) gleich x ‚(t). Einfach gesagt, die Geschwindigkeit – es ist ein Derivat der Koordinaten der Zeit.

Momentangeschwindigkeit hat sowohl positive als auch negative Werte und den Wert 0. Wenn es bei einem bestimmten Zeitintervall (t1; t2) positiv ist, dann bewegt sich der Punkt in der gleichen Richtung, das heißt, x (t) -Koordinate mit der Zeit zunimmt, und wenn v (t) negativ ist, dann wird die Koordinate x (t) abnimmt.

In komplexeren Fällen, bewegt sich der Punkt in der Ebene oder im Raum. Dann wird die Geschwindigkeit von – einer Vektorgröße und bestimmt jede der Koordinaten eines Vektors v (t).

Ebenso kann man die Beschleunigung des Punktes vergleichen. Die Geschwindigkeit ist eine Funktion der Zeit, dh v = v (t). Ein Derivat einer solchen Funktion – Bewegung der Beschleunigung: a = v ‚(t). Das heißt, es stellt sich heraus, dass die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit der Beschleunigung ist.

Angenommen, y = f (x) – jede differenzierte Funktion. Dann können wir die Bewegung eines Punktes auf der Koordinatenachse betrachten, den Platz für das Recht x = f nimmt (t). Mechanische Wartung des Derivats die Möglichkeit gibt , eine klare Interpretation der Sätze zu schaffen , der Differentialrechnung.

Wie die Ableitung zu finden? Ermitteln der Ableitung einer Funktion ist seine Unterscheidung genannt.

Zeigen Sie Beispiele dafür, wie die Ableitung der Funktion zu finden:

Die Ableitung von einer konstanten Funktion gleich Null ist ; Ableitung der Funktion y = x ist gleich eins.

Und wie die Ableitung der Fraktion zu finden? Um dies zu tun, sollten Sie das folgende Material:

Für jedes x 0 0 haben wir

y / x = -1 / x0 · (x + x)

Es gibt einige Regeln, wie die Ableitung zu finden. Nämlich:

Wenn die Funktionen A und B differenzier Punkt x0, so ist ihre Summe an einem Punkt unterscheidet: (A + B) '= A' + B‘. die Ableitung einer Summe gleich der Summe der Derivate Einfach ausgedrückt,. Wenn die Funktion an einem gewissen Punkt differenziert wird, dann muss es auf Null erhöht werden, wenn das Argument auf Null Zunahme nach.

(A * B) '= A'B + AB': Wenn die Funktionen A und B differenzier Punkt x0 sind, dann ist ihr Produkt unterscheiden. (Werte Funktionen und deren Derivate werden im Punkt x0 berechnet). Wenn die Funktion A (x) ist in Punkt x0 differenziert und C – konstant ist, dann ist CA-Funktion an dieser Stelle und (CA) '= CA' differenziert. Das heißt, ein konstanter Faktor außerhalb des Vorzeichen der Ableitung genommen.

Wenn die Funktionen A und B differenzier Punkt x0 ist, und die Funktion B nicht gleich Null ist, dann auch dessen Verhältnis differenzierte auf: (A / B) '= (A'B-AB') / B * B.