Die Gleichung der Ebene: Wie zu machen? Typen Ebenengleichungen

Die Ebene Raum kann auf unterschiedliche Weise (einen Punkt und den Vektor, der Vektor und die zwei Punkte, drei Punkte, etc.) definiert werden. Es ist diese mit im Auge kann die Ebenengleichung verschiedene Typen haben. Unter bestimmten Bedingungen auch Ebene kann parallel sein, senkrechte, sich schneidende, usw. Auf diesem und wird in diesem Artikel sprechen. Wir werden lernen, die allgemeine Gleichung der Ebene zu machen und nicht nur.

Die normale Form der Gleichung

Angenommen , R ist der Raum _3, die ein rechtwinkliges Koordinatensystem XYZ hat. Wir definieren ein Vektor-α, die von dem Ausgangspunkt freigegeben werden O. Durch das Ende des Vektors α Lebene P ziehen, die senkrecht zu ihr ist.

Bezeichne P an einem beliebigen Punkt Q = (x, y, z). Der Radiusvektor des Punktes Q Zeichen Buchstaben p. Die Länge des Vektors gleich α p = IαI und Ʋ = (cos & alpha;, cos & beta;, cosγ).

Dieser Einheitsvektor, der in die Richtung als Vektor α gerichtet ist. α, β und γ – Winkel sind, die zwischen dem Vektor und den positiven Richtungen Ʋ Raumachsen x, y, z jeweils ausgebildet sind. Die Projektion eines Punktes auf Vektor QεP Ʋ ist eine Konstante, die zu p (p, Ʋ) = p (R≥0) gleich ist.

Die obige Gleichung ist sinnvoll, wenn p = 0 ist. Die einzige n Ebene, in diesem Fall würde Punkt O kreuzen (α = 0), die der Ursprung ist, und Einheitsvektor Ʋ, von dem Punkt O freigesetzt wird auf P senkrecht sein, obwohl seine Richtung, was bedeutet, dass der Vektor Ʋ bestimmt bis zum Schild. Zurück Gleichung ist unsere Ebene P, ausgedrückt in Vektorform. Aber im Hinblick auf seine Koordinaten:

P größer als oder gleich 0. Wir die Ebenengleichung in Normalform gefunden.

Die allgemeine Gleichung

Wenn die Gleichung in den Koordinaten durch eine beliebige Anzahl multiplizieren, die nicht gleich Null ist, wir die Gleichung entspricht dies erhalten, die die sehr Ebene definiert. Es wird die folgende Form haben:

Hier, A, B, C – ist die Anzahl der gleichzeitig von Null verschieden. Diese Gleichung ist die Gleichung der allgemeinen Form der Ebene bezeichnet.

Die Gleichungen der Ebenen. Sonderfälle

Die Gleichung kann in der Regel mit zusätzlichen Bedingungen geändert werden. Betrachten wir einige von ihnen.

Es sei angenommen, dass der Koeffizient A gleich 0. Dies zeigt an, dass die Ebene parallel zu der vorbestimmten Achse Ox. In diesem Fall ändert sich die Form der Gleichung: Wu + Cz + D = 0.

Auch die Form der Gleichung und wird mit den folgenden Bedingungen variiert:

• Erstens, wenn B = 0, wird die Gleichung Änderungen Ax + Cz + D = 0, was die Parallelität zur Achse Oy anzeigen würde.
• Zweitens, wenn C = 0, wird die Gleichung in Ax + By + D = 0 transformiert wird, das heißt ungefähr parallel zu der vorbestimmten Achse Oz sagen.
• Drittens, wenn D = 0 ist, wird angezeigt, wie die Gleichung Ax + By + Cz = 0 ist, was bedeuten würde, daß die Ebene schneidet, O (der Ursprung).
• Viertens: Wenn A = B = 0, die Gleichung Änderungen an Cz + D = 0, die Oxy Parallelität wird beweisen.
• Fünftens, wenn B = C = 0 ist, wird die Gleichung Ax + D = 0, was bedeutet, dass die Ebene zu OYZ parallel ist.
• Sechstens, wenn A = C = 0, wird die Gleichung, die die Form Wu + D = 0 nimmt, das heißt, wird die Parallelität Oxz melden.

Form der Gleichung in Segmente

In dem Fall, in dem Zahlen A, B, C, D von Null verschieden ist, die Form der Gleichung (0) kann wie folgt sein:

x / a + y / b + z / c = 1,

wobei a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Wir erhalten als Ergebnis Gleichung der Ebene in Stücke. Es soll beachtet werden, dass diese Ebene wird die x-Achse an dem Punkt mit den Koordinaten (a, 0,0), Oy schneiden – (0, b, 0) und Oz – (0,0, s).

Angesichts die Gleichung x / a + y / b + z / c = 1, ist es nicht schwierig ist, die Bestückebene relativ zu einem vorbestimmten Koordinatensystem zu visualisieren.

Die Koordinaten des Normalvektors

Der Normalenvektor n zur Ebene P hat die Koordinaten, die die Koeffizienten der allgemeinen Gleichung der Ebene sind, das heißt n (A, B, C).

Um die Koordinaten der Normalen n zu bestimmen, ist es ausreichend, die allgemeine Gleichung gegebenen Ebene zu kennen.

Wenn in Segmenten unter Verwendung die Gleichung, die die Form hat x / a + y / b + z / c = 1, als wenn die allgemeine Gleichung Koordinaten eines beliebigen Normalvektor geschrieben werden kann, eine gegebene Ebene: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Es soll beachtet werden, dass der Normalvektor zu helfen, verschiedene Probleme zu lösen. Die häufigsten Probleme sind, die aus in fest senkrecht oder parallelen Ebenen, die Aufgabe, die Winkel zwischen den Ebenen zu finden oder die Winkel zwischen den Flächen und geraden Linien.

Typ gemäß der Ebenengleichung und Koordinaten des Punkts Normalvektor

Ein Nicht-Null-Vektor-n, die senkrecht zu einer gegebenen Ebene, genannt normal (normal) zu einer vorbestimmten Ebene.

Nehmen wir an, daß in dem Koordinatenraum (ein rechteckiges Koordinatensystem) gesetzt OXYZ:

• Mₒ Punkt mit den Koordinaten (hₒ, uₒ, zₒ);
• Nullvektor n = A * B * i + j + k * C.

Sie müssen Gleichung der Ebene zu bilden, die senkrecht zur Normalen N durch Mₒ Punkt passiert.

In dem Raum wählen wir jeden beliebigen Punkt und bezeichnen M (x, y, z). Lassen der Radiusvektor von jedem Punkt M (x, y, z) wird r = x * i + y * j + z * k, und der Radiusvektor eines Punktes Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) – rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. Der Punkt M wird auf eine gegebene Ebene gehört, wenn der Vektor zu dem Vektor MₒM n senkrecht sein. Wir schreiben die Bedingung der Orthogonalität des Skalarprodukts mit:

[MₒM, n] = 0 ist.

Da MₒM = r-rₒ, die Vektorgleichung der Ebene wird wie folgt aussehen:

[R – rₒ, n] = 0 ist.

Diese Gleichung kann auch eine andere Form haben. Zu diesem Zweck werden die Eigenschaften des Skalarproduktes und konvertiert die linke Seite der Gleichung. [R – rₒ, n] = [R, n] – [rₒ, n]. Wenn [rₒ, n] als s bezeichnet wird, erhalten wir die folgende Gleichung: [R, n] – a = 0 oder [R, n] = s, was die Konstanz der Vorsprünge auf dem Normalvektor der Radiusvektoren der gegebenen Punkte zum Ausdruck bringt, die Ebene gehört.

Jetzt können Sie erhalten die Aufzeichnungsebene unserer Vektorgleichung Koordinaten [r – rₒ, n] = 0. Da r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, und n = A * B * i + j + k * C, haben wir:

Es stellt sich heraus, dass wir die Gleichung gebildeten Ebene senkrecht zu der Normalen n durch den Punkt:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Typ gemäß der Ebenengleichung und Koordinaten von zwei Punkten der Vektorebene kollinear

Wir definieren zwei beliebige Punkte M '(x', y 'z') und M "(x", y“, z "), sowie den Vektor (a‘, a", a '' ').

Nun können wir Gleichung vorbestimmten Ebene schreiben, die den vorhandenen Punkt M durchlaufen ‚und M“, und jeden Punkt mit dem Koordinaten M (x, y, z) parallel zu einer gegebenen Vektor.

Somit M'M Vektoren x = {x 'y-y'; zz '} und M "M = {x" -x', y 'y', z „-Z‚} sollte mit dem Vektor koplanar sein a = (a‘, a " a '' '), was bedeutet, daß (M M'M" M, a) = 0.

So ist unsere Gleichung einer Ebene im Raum wird wie folgt aussehen:

Art der Ebenengleichung, Kreuzung von drei Punkten

Nehmen wir an, wir haben drei Punkte: (x 'y', z '), (x', y 'z'), (x '' '' '' Have, z ‴), die auf der gleichen Linie nicht gehören. Es ist notwendig, Gleichung der Ebene zu schreiben, durch die vorgegebenen drei Punkte verläuft. Geometrie Theorie argumentiert, dass diese Art der Ebene existiert, es ist nur eine und einzige. Da diese Ebene den Punkt schneidet, (x ‚y‘, z ‚), würde seine Gleichung Form haben:

Hier, A, B und C unterscheiden sich von Null bei gleichzeitig. Auch gegebene Ebene schneidet zwei weitere Punkte (x "y", z „) und (x '' ', y' '', z '' '). In diesem Zusammenhang sollte diese Art von Bedingungen durchgeführt werden:

Jetzt können wir ein einheitliches System schaffen Gleichungen (linear) mit Unbekannten u, v, w:

In unserem Fall x, y oder z steht beliebigen Punkt der Gleichung (1) erfüllt. Unter Berücksichtigung der Gleichung (1) und ein System von Gleichungen (2) und (3) das Gleichungssystem in der Figur oben angedeutet, die den Vektor N erfüllt (A, B, C) ist nicht trivial. Es liegt daran, dass die Determinante des Systems gleich Null ist.

Die Gleichung (1), dass wir haben, ist dies die Gleichung der Ebene. 3-Punkt geht sie wirklich, und es ist leicht zu überprüfen. Dazu erweitern wir die Determinante durch die Elemente in der ersten Reihe. Von den bestehenden Eigenschaften Determinante folgt, dass unser Flugzeug gleichzeitig den drei ursprünglich vorbestimmten Punkt schneidet, (x 'y', z ‚), (x " y", z„), (x '' ', y' '', z '' '). Also beschlossen wir, vor uns Aufgabe.

Diederwinkel zwischen den Ebenen

Diederwinkel ist eine räumliche geometrische Form, gebildet durch zwei Halbebene, die von einer geraden Linie ausgehen. Mit anderen Worten, ein Teil des Raumes, die auf die Halbebenen begrenzt ist.

Angenommen, wir zwei Ebene mit den folgenden Gleichungen:

Wir wissen, dass der Vektor N = (A, B, C) und N¹ = (A¹, H¹, S¹) gemäß vorbestimmten Ebenen senkrecht. In dieser Hinsicht ist der Winkel φ zwischen den Vektoren N und N¹ gleichen Winkel (Dieder), die zwischen diesen Ebenen befindet. Das Skalarprodukt ist gegeben durch:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

gerade weil

cos = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Es genügt, dass 0≤φ≤π zu betrachten.

Eigentlich zwei Ebenen, die sich schneiden, bilden zwei Winkel (Dieder): φ ₁ und φ _2. Ihre Summe ist gleich & pgr; (φ ₁ + φ ₂ = π). Was ihre Cosinus sind, deren absolute Werte gleich, sie sind aber unterschiedliche Vorzeichen, das heißt, cos φ ₁ = -cos φ _2. Wenn in der Gleichung (0) durch A, B und C von -A, -B und -C jeweils ersetzt wird, wird die Gleichung, so erhält man die gleiche Ebene bestimmen, den einzigen Winkel φ in Gleichung cos φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Es wird durch π-φ ersetzt werden.

Die Gleichung der senkrechten Ebene

Genannt senkrechte Ebene, zwischen denen der Winkel 90 Grad beträgt. Unter Verwendung des Materials oben dargestellt, können wir die Gleichung einer Ebene senkrecht zur anderen finden. Angenommen, wir haben zwei Ebenen: Ax + By + Cz + D = 0 und + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Wir können sagen, dass sie orthogonal sind, wenn cos = 0. Das bedeutet, dass NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Die Gleichung einer parallelen Ebene

Es bezeichnet zwei parallelen Ebenen, die keine gemeinsame Punkte aufweisen.

Der Zustand der parallelen Ebenen (die Gleichungen die gleiche wie im vorigen Absatz) sind , ist , dass die Vektoren N und N¹, die zu ihnen senkrecht sind, kollinear. Dies bedeutet, dass die folgenden Bedingungen Verhältnismäßigkeit erfüllt sind:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

Wenn die proportionalen Terme erweitert werden – A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

Dies zeigt an, dass die Datenebene desselben. Das bedeutet, dass Gleichung Ax + By + Cz + D = 0 und + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 eine Ebene beschreiben.

Der Abstand von dem Punkt zu der Ebene

Angenommen, wir eine Ebene P haben, die von (0) gegeben ist. Es ist notwendig, den Abstand von dem Punkt mit den Koordinaten (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ zu finden. , Sie müssen die Gleichung in der Ebene II normales Aussehen zu bringen, es zu machen:

(Ρ, v) = p (R≥0).

In diesem Fall ρ (x, y, z) der Radiusvektor des Punkt Q, an n p – n ist die Länge der Senkrechten, die vom Nullpunkt freigelassen wurden, v – ist der Einheitsvektor, der in die Richtung A angeordnet ist.

Die Differenz ρ-ρº Radiusvektor eines Punkts Q = (x, y, z), im Besitz von P und der Radiusvektor von einem gegebenen Punkt Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) ist der Vektor, der absolute Wert der Projektion , die auf v gleich den Abstand d, der notwendig ist , von Q zu finden = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) bis P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, aber

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) – (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

So stellt sich heraus,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Nun ist es klar , dass der Abstand d von ₀ bis Q – Ebene P zu berechnen, ist es notwendig normale Ansicht Ebenengleichung zu verwenden, wird die Verschiebung nach links von p, und die letzten Stelle von x, y, z Stellvertreter (hₒ, uₒ, zₒ).

So finden wir den absoluten Wert des resultierenden Ausdrucks, d erforderlich ist.

Mit den Parametern von Sprache, erhalten wir die Hand:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

Wenn der angegebene Punkt Q ₀ auf der anderen Seite der Ebene P als Ursprung ist, dann zwischen dem Vektor ρ-ρ ⁰ und v ist ein stumpfer Winkel, so:

d = – (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0 ist .

In dem Fall , wenn der Punkt Q ₀ in Verbindung mit dem Ursprung auf der gleichen Seite des U befindet, ist der spitze Winkel geschaffen, das heißt:

d = (ρ ^{0 ρ-,} v) p = – (ρ ^0, v)> 0.

Das Ergebnis ist , dass im ersten Fall (ρ ^0, v)> p, in den zweiten (ρ ^0, v) <p.

Und seine Tangentialebene Gleichung

In Bezug auf die Ebene zu der Oberfläche an dem Tangentenpunkt Mº – eine Ebene, alle möglichen Tangenten an der Kurve durch diesen Punkt auf der Oberfläche gezogen enthält.

Mit dieser Oberflächenform der Gleichung F (x, y, z) = 0 in der Gleichung der Tangentialebene Tangentenpunkt Mº (hº, uº, zº) wäre:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Wenn die Oberfläche explizit z = f (x, y) gesetzt ist, dann wird die Tangentialebene durch die Gleichung beschrieben:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

Der Schnittpunkt von zwei Ebenen

In einem dreidimensionalen Raum ist ein Koordinatensystem (rechteckig) OXYZ, da zwei Ebenen P ‚und P‘ , die sich überlappen und nicht zusammenfallen. Da jede Ebene, die in einem rechteckig ist System durch die allgemeine Gleichung definiert koordinieren, gehen wir davon aus, dass n ‚und n„durch die Gleichungen A'x + V'u S'z definiert + + D‘= 0 und A" + B x '+ y mit "z + D" = 0 ist. In diesem Fall haben wir normale n '(A', B 'C') die Ebene P 'und die Normalen n "(A", B "C") der Ebene P'. Da unser Flugzeug nicht parallel sind und nicht zusammenfallen, dann werden diese Vektoren nicht kollinear. In der Sprache der Mathematik, haben wir diese Bedingung wie folgt geschrieben werden kann: n '≠ n "↔ (A', B 'C') ≠ (λ * und", λ * In "λ * C"), λεR. Lassen Sie die gerade Linie, die an der Kreuzung P liegt ‚„∩ P und P wird durch die Buchstaben a, in diesem Fall a = P bezeichnet werden‘".

und – eine Linie, bestehend aus einer Vielzahl von Punkten (gemeinsame) Ebene P ‚und P“. Dies bedeutet, dass die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Linie A gehören, gleichzeitig die Gleichung A'x + V'u S'z erfüllen muss + + D '= 0 und ein „x + B' + C y" z + D "= 0 ist. Dies bedeutet, dass die Koordinaten des Punktes wird eine bestimmte Lösung der folgenden Gleichungen:

Das Ergebnis ist, dass die Lösung (insgesamt) dieses Gleichungssystems werden die Koordinaten jedes der Punkte auf der Geraden bestimmen, die als der Schnittpunkt P handeln ‚und P“ und eine Linie in einem OXYZ (rechteckig) Raum-Koordinatensystem zu bestimmen.