Was ist Arithmetik? Hauptsatz der Arithmetik. binäre Arithmetik

Was ist Arithmetik? Wenn die Menschheit begann Zahlen zu verwenden und mit ihnen arbeiten? Wo seine Wurzeln alltäglicher Begriffe wie Zahlen sind Fraktionen, Subtraktion, Addition und Multiplikation, hat diese Person einen integralen Bestandteil seines Lebens und Ausblick gemacht? Griechischer Geist solche Wissenschaften wie Mathematik, Arithmetik und Geometrie, als eine schöne Symphonie der menschlichen Logik bewundert.

Vielleicht ist Mathematik nicht so tief wie die anderen Wissenschaften, aber was mit ihnen geschehen würde, die Leute vergessen, die elementare Einmaleins? Vertraut uns logisches Denken, mit Zahlen, Brüche und andere Werkzeuge, die Menschen eine harte Zeit zu geben, und für eine lange Zeit war unseren Vorfahren nicht zur Verfügung. In der Tat, vor der Entwicklung der Arithmetik war kein Bereich des menschlichen Wissens nicht wirklich wissenschaftlich.

Arithmetik – Mathematik ist das Alphabet

Arithmetik – die Wissenschaft der Zahlen, mit denen jeder einzelne die Bekanntschaft mit der faszinierenden Welt der Mathematik beginnt. In den Worten von M. V. Lomonosov, Arithmetik – hier ist die Pforte des Lernens, den Weg für uns zu Miropoznanie öffnen. Aber er ist richtig, ist die Kenntnis der Welt kann aus der Kenntnis von Buchstaben und Zahlen, Mathematik und Sprache getrennt werden? Vielleicht in den alten Tagen, aber nicht in der modernen Welt, wo die rasche Entwicklung von Wissenschaft und Technik ihrer eigenen Gesetze macht.

Das Wort „Arithmetik“ (Gk. „Arifmos“) griechischen Ursprungs, bedeutet „Nummer“. Er untersucht die Anzahl und alle, die mit ihnen in Verbindung gebracht werden können. Dies ist die Welt der Zahlen: verschiedener Operationen auf Zahlen, numerische Regeln, die Aufgaben, die mit der Multiplikation, Subtraktion zugeordnet sind, und so weiter ..

Es ist allgemein anerkannt, dass der erste Schritt für die komplexeren seiner Abschnitte, wie Algebra, mathematische Analyse, höhere Mathematik und t die arithmetische Mathematik und solide Basis ist. D.

Die Hauptaufgabe der Arithmetik

Die Grundlage der Arithmetik – eine ganze Zahl, die Eigenschaften und Gesetze , die die höchste Arithmetik oder betrachtet werden Zahlentheorie. In der Tat, wie der richtige Ansatz in Anbetracht einer so kleinen Einheit genommen wird, als eine natürliche Zahl abhängig von der Stärke des Gebäudes – Mathematik.

Daher ist die Frage Arithmetik ist, ist die Antwort einfach: es ist die Wissenschaft der Zahlen ist. Ja, über die üblichen sieben, neun, und all diese vielfältigen Gemeinschaft. Und genauso gut, und die mittelmäßigsten Verse nicht ohne grundlegendes Alphabet schreiben, ohne Arithmetik kann nicht einmal grundlegende Aufgaben gelöst werden. Deshalb alle Wissenschaften erst nach der Entwicklung der Arithmetik und Mathematik vorangebracht haben, in erster Linie eine Reihe von Annahmen zu sein.

Arithmetik – science-ghost

Was ist Arithmetik – Naturwissenschaft oder ein Phantom? In der Tat, wie die alten griechischen Philosophen begründet, keine Zahlen, haben keine Zahlen in Wirklichkeit nicht existieren. Es ist nur ein Phantom, das im menschlichen Denken entsteht, wenn die Umwelt und ihre Prozesse betrachten. In der Tat, was ist die Nummer? Nirgendwo um wir alles nicht so sehen könnte die Zahl, sondern bezeichnet werden, die Zahl – es ist ein Weg, um die Welt des menschlichen Geistes zu erkunden. Vielleicht ist diese Studie, die wir in sich selbst haben? Philosophen streiten sich über das seit vielen Jahrhunderten in einer Reihe, so eine erschöpfende Antwort geben wir verpflichten uns nicht. So oder so, könnte die Arithmetik so nehmen fest, ihre Position in der modernen Welt kann niemand sozial ohne das Wissen ihrer Grundlagen angepasst betrachtet werden.

Da gibt es eine positive ganze Zahl

Natürlich arbeitet das Hauptobjekt von denen Arithmetik, – natürliche Zahl wie 1, 2, 3, 4, …, 152 … etc. Arithmetik der natürlichen Zahlen ist das Ergebnis der Kosten der gewöhnlichen Gegenstände, wie zum Beispiel Kühe auf einer Wiese. Dennoch ist die Definition von „viel“ oder „ein wenig“, wenn etwas, das Menschen zu halten, aufgehört hat, und hatte mehr anspruchsvolle Zählverfahren zu erfinden.

Aber der eigentliche Durchbruch kam, als der menschliche Geist den Punkt erreicht hat, die eine und die gleiche Anzahl von „zwei“ sein kann, zu bezeichnen und 2 kg und 2 Ziegel und 2 Teile. Die Tatsache, dass es zu abstrahieren von den Formen, Eigenschaften und Bedeutung von Objekten notwendig ist, dann können wir eine Aktion mit diesen Objekten in Form von positiven ganzen Zahlen erzeugen. So wurde die Arithmetik der Zahlen geboren, die weiter entwickelt und besetzt eine Position in der Gesellschaft erweitert.

Ein solches das Konzept der Zahl in die Tiefe, als Null und negative Zahlen, Brüche, beziehen sich Zahlen auf die Zahlen auf anderen Wegen, haben eine reiche und interessante Geschichte der Entwicklung.

Rechen- und praktische Ägypter

Zwei alte menschliche Begleiter in der Erforschung der Welt und Lösung alltägliche Probleme – diese Arithmetik und Geometrie.

Es wird angenommen, dass die Geschichte der Arithmetik hat ihren Ursprung in der Antike Osten: Indien, Ägypten, Babylon und China. So Rhind Papyrus ägyptische Herkunft (so genannt, weil der gleiche Name des Eigentümer gehört), aus dem XX Jahrhundert. BC, zusätzlich zu anderen wertvollen Daten umfassen die Expansion einer Fraktion in der Menge an Fraktionen mit unterschiedlichen Nennern und Zähler gleich eins ist.

Zum Beispiel: = 1/60 + 2/73 1/219 + 1/292 + 1/365 .

Aber was ist der Sinn eines solchen Komplexes Zersetzung? Die Tatsache, dass der ägyptische Ansatz nicht abstrahiert duldet über Zahl zu denken, im Gegenteil wurden die Berechnungen nur für praktische Zwecke gemacht. Das heißt, werden die Ägypter in einem solchen Unternehmen wie Berechnungen beschäftigt, nur um das Grab, zum Beispiel zu bauen. Es war notwendig, die Länge der Rippenstruktur zu berechnen, und es machte für eine Person Papyrus zu sitzen. Wie zu sehen ist, wurden die ägyptischen Fortschritte bei den Berechnungen genannt, ziemlich massiv, Gebäude, sondern als eine Liebe zur Wissenschaft.

Aus diesem Grunde auf Papyri Berechnungen können nicht Reflexionen über das Thema der Fraktionen aufgerufen werden. Wahrscheinlich ist es eine praktische Vorbereitung, die dazu beigetragen zu weiteren Problemen mit den Fraktionen zu lösen. Die alten Ägypter nicht die Multiplikationstabelle wusste, erzeugt eine ziemlich langwierige Berechnungen, verteilt in viele Teilaufgaben. Vielleicht ist dies einer jener Unteraufgaben. Es ist leicht zu bemerken, dass die Berechnungen mit diesen Rohlingen sind sehr zeitaufwendig und nicht sehr vielversprechend. Vielleicht aus diesem Grund, warum wir nicht einen großen Beitrag zur Entwicklung der altägyptischen Mathematik sehen.

Antikes Griechenland und philosophische Arithmetik

Viele der Kenntnis des alten Ostens wurden von den alten Griechen erfolgreich gemeistert, bekannt zu Fans der abstrakten, abstrakter und philosophischen Reflexion. Üben sie interessiert sich für nichts weniger, aber die besten Theoretiker und Denker sind schwer zu finden. Es war gut für die Wissenschaft, weil Mathematik nicht möglich ist, tief zu gehen, es nicht mit der Realität zu reißen. Natürlich ist es möglich, die 10 Kühe und 100 Liter Milch zu vermehren, aber nicht weit bewegen zu können, zu.

Griechen denken deutliche Spuren in der Geschichte tief links, und ihre Werke zu uns kommen:

• Euklid und „Elemente“.
• Pythagoras.
• Archimedes.
• Eratosthenes.
• Zenon.
• Anaxagoras.

Und natürlich dreht sich die ganze Philosophie der Griechen, und vor allem die Anhänger der Fälle Pythagoras waren so begeistert von den Zahlen, die ihnen ein Rätsel Harmonie in der Welt betrachtet. Die Zahlen wurden so untersucht und untersucht, dass einige von ihnen und ihren Paaren besondere Eigenschaften zugeschrieben. Zum Beispiel:

• Perfekte Zahlen – jene, die die Summe seiner Divisoren außer der Zahl sind selbst (6 = 1 + 2 + 3).
• Freundliche Zahlen – diese Zahlen, von denen die Summe aller Teiler des zweiten und vice versa (pythagoreischen kennen nur ein solches Paar: 220 und 284).

Die Griechen, die die Wissenschaft glaubten sollte, geliebt werden nicht mit ihr im Interesse der Verstärkung haben große Fortschritte gemacht, zu erforschen, zu spielen und das Hinzufügen von Zahlen. Es ist zu beachten, dass nicht alle ihre Forschung weit verbreitet wurden, nur einige von ihnen waren „für die Schönheit.“

Eastern Denker des Mittelalters

Auch im Mittelalter Arithmetik es seine Entwicklung in den östlichen Zeitgenossen verdankt. Die Indianer gaben uns die Zahlen , die wir aktiv , so etwas wie „Null“, und die Positionsänderung verwenden Berechnungssystem, die übliche moderne Wahrnehmung. Von Al-Brei, der im 15. Jahrhundert in Samarkand gearbeitet, wir haben die geerbten Dezimalstellen, ohne die es schwierig ist , moderne Arithmetik vorstellbar.

In vielerlei Hinsicht vertraute Europa mit den Leistungen des Ostens möglich dank der Arbeit des italienischen Wissenschaftlers Leonardo Fibonacci gemacht wurden, der ein Buch „Liber Abaci“ schrieb, mit orientalischen Innovationen vertraut gemacht werden. Es ist der Grundstein für die Entwicklung der Algebra und Arithmetik, Forschung und wissenschaftlicher Aktivitäten in Europa.

Russisch-Arithmetik

Schließlich Arithmetik hat in Europa seinen Platz und verwurzelt gefunden, begann auf dem russischen Land zu verbreiten. Russisch zuerst Arithmetik im Jahr 1703 veröffentlicht – es war ein Buch über Arithmetik Leontiya Magnitskogo. Für eine lange Zeit war es das einzige Tutorial in der Mathematik. Es enthält die anfänglichen Momente der Algebra und Geometrie. Die Figuren, die in den Beispielen von Russlands erstem Lehrbuch der Arithmetik, Arabisch verwendet wurden. Obwohl arabische Ziffern haben zuvor getroffen, in den Stichen aus dem 17. Jahrhundert.

Das Buch selbst ist mit Bildern von Archimedes und Pythagoras eingerichtet und auf der ersten Seite – Bild Arithmetik als Frau. Sie sitzt auf dem Thron, darunter in dem hebräischen Wort für den Namen Gottes geschrieben ist, und auf den Stufen, die zum Altar führen, mit dem Wort „Teilung“ eingeschrieben, „erhöhen“, „Ergänzung“, und so weiter. D. Man kann sich vorstellen, welchen Wert verraten solche Wahrheiten, die heute allgemein üblich angesehen werden.

Das Lehrbuch von 600 Seiten beschreibt als Grundlage wie Addition und Multiplikation Tabellen und Anwendungen für Navigationswissenschaften.

Es überrascht nicht, hat der Autor das Bild der griechischen Denker für sein Buch gewählt, weil er sich von der Schönheit der Arithmetik gefesselt wurde und sagte: „Arithmetik hat chislitelnitsa dort bist schön, nezavistnoe …“. Dieser Ansatz zur Arithmetik ist begründet, weil es seine weit verbreitete Annahme ist, kann den Beginn der rasanten Entwicklung des wissenschaftlichen Denkens in Russland und Allgemeinbildung angesehen werden.

Uneasy Primzahlen

Primzahl – es ist eine natürliche Zahl, die nur zwei positive Teiler: 1 und sich selbst. Alle anderen Zahlen, mit Ausnahme 1 Composite genannt. Beispiele für Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, und alle anderen, die nicht Divisoren sind außer 1 und die Zahl selbst.

Wie für die Nummer 1, es an einer Prämie ist – gibt es Einigkeit darüber, dass es in Betracht gezogen werden sollte weder einfach noch Verbindung. Einfach auf den ersten Blick eine einfache Zahl verbirgt viele ungelöste Geheimnisse in sich.

Euklids Satz besagt, dass eine unendliche Anzahl von Primzahlen und Eratosthenes kamen mit einem speziellen Arithmetik „Sieb“ auf, die komplizierten Zahlen eliminiert, nur einfach zu verlassen.

Sein Wesen ist die erste Undelete-Nummer, und in der anschließenden streichend diejenigen, die ein Vielfaches davon zu betonen. Wir wiederholen diesen Vorgang mehrmals – und eine Tabelle der Primzahlen bekommen.

Hauptsatz der Arithmetik

Unter den Beobachtungen über Primzahlen müssen speziell den arithmetischen Grundsatz erwähnen.

Grundrechen Theorem besagt, dass jede ganze Zahl größer als 1 ist, oder ein einfaches oder es kann bis zu der Größenordnung von Wiederholungsfaktoren, die einzige Möglichkeit, in ein Produkt von Primzahlen zerlegt werden.

Hauptsatz der Arithmetik erwies sich als recht umständlich, und verstehen es nicht nur die Grundlagen ist gefallen.

Auf dem ersten Blick der Primzahlen – elementares Konzept, aber es ist nicht. Physik auch einmal elementares Atom betrachtet, bis sie in einem Universum gefunden. Primes gewidmet eine schöne Geschichte Mathematiker Don Zagier „Die ersten fünfzig Millionen Primzahlen.“

Von den „drei Äpfel“ zu deduktiven Gesetze

Das kann wirklich eine verstärkte Grundlage aller Wissenschaft genannt werden – die Gesetze der Arithmetik. Schon als Kind all das arithmetische Gesicht, die Anzahl der Beine und Arme an den Puppen zu studieren, um die Anzahl der Würfel, Äpfel und so weiter. D. So untersuchen wir Arithmetik, die dann in komplexere Regeln voranschreitet.

Unser ganzes Leben führt uns an die Regeln der Arithmetik, die für den gemeinen Mann waren die nützlichste aller dieser Wissenschaft gibt. Die Studie von Zahlen – es ist „Arithmetic-Baby“, die die Menschen in der Welt der Zahlen als Ziffern in der frühen Kindheit führt.

Höhere Arithmetik – deduktive Wissenschaft, die die Gesetze der Arithmetik studiert. Die meisten von ihnen wissen wir, obwohl wir vielleicht nicht wissen, ihre genauen Wortlaut.

Das Gesetz der Addition und Multiplikation

Zwei beliebige ganze Zahlen a und b kann als die Summe von a + b ausgedrückt werden, was auch eine natürliche Zahl. In Bezug auf die hinaus die folgenden Gesetze:

• Commutative, die besagt , dass die Vertauschung der Begriffe legt Betrag nicht ändert, oder a + b = b + a.
• Assoziative , daß die Summe hängt nicht von dem Verfahren nach den Begriffen in Orten Gruppierung oder A + (b + c) = (a + b) + c.

Regeln der Arithmetik, wie Addition, – eine der grundlegenden, aber sie sind alle Wissenschaften verwenden, nicht den Alltag zu vergessen.

Alle zwei ganzen Zahlen a und b in dem Produkt oder ein b * a * b ausgedrückt werden, die auch eine natürliche Zahl ist. Anzuwenden, um das Produkt mit den gleichen kommutativen und assoziativen Gesetzen in Bezug auf die Zugabe von:

• a * b * a = b;
• a * (b * c) = (a * b) * c.

Interessant ist, dass es ein Gesetz gibt, die Addition und Multiplikation kombiniert, auch als Vertrieb oder distributive Gesetz bekannt:

a (b + c) = ab + ac

Dieses Gesetz lehrt uns, mit Klammern zu arbeiten, sie zu öffnen, so können wir bereits mit komplexeren Formeln arbeiten. Dies sind die Gesetze, die uns durch die urig, aber komplexe Welt der Algebra führen wird.

Law arithmetische Ordnung

über die Gesetze der menschlichen Logik verwendet es jeden Tag, seine Uhr und die Rechnungen zu zählen. Und doch, und es sollte in eine bestimmte Sprache erfolgen.

Wenn wir zwei positive ganze Zahlen a und b, dann die folgenden Optionen:

• a gleich b oder a = b;
• a kleiner als b oder a <b;
• a größer als b oder a> b.

Von den drei Optionen können nur nur einen geben. Das Grundgesetz, die das Verfahren regelt, sagte: wenn a <b und b <c, dann a <c.

Darüber hinaus gibt es Gesetze , die die Aktionen der Reihenfolge der Addition und Multiplikation binden: wenn a <b, dann a + c <b + c und ac <bc.

Die Gesetze der Arithmetik hat uns gelehrt, mit Zahlen, Zeichen und Klammern zu arbeiten, alles in eine harmonische Symphonie aus Zahlen drehen.

Lage- und nonpositional Numerierungssystem

Wir können sagen, dass die Zahlen – das ist die Sprache der Mathematik ist, von der Bequemlichkeit von der hängt von vielen Dingen. Es gibt viele Systeme der Berechnung, die, wie die Buchstaben verschiedener Sprachen unterscheiden.

Betrachten Sie das Zahlensystem von dem Punkt der Auftreffpositionen auf dem quantitativen Wert der Ziffer in dieser Position. Zum Beispiel ist römisches System nonpositional wobei jede Zahl durch einen bestimmten Satz von Sonderzeichen codiert ist: I / V / X / L / C / D / M. Sie sind jeweils die Zahlen 1/5/10/50/100/500 / 1000. In diesem System ist in der Figur nicht seine quantitative Bestimmung ändern, je nachdem, an welcher Position es sollte: .. Dem ersten, zweiten, usw. Um die anderen Zahlen, ist es notwendig, die Basis zu legen. Zum Beispiel:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Mehr uns vertraut Zahlensystem ist Positions arabische Ziffern verwenden. In einem solchen System die Anzahl der Entladung definiert die Anzahl der Stellen, beispielsweise dreistellige Nummern: 333, 567, usw. Das Gewicht von jedem der Entladung an einer Position abhängig von dem der Figur ist die eine oder andere, beispielsweise 8 in der zweiten Position einen Wert von 80 hat es typisch für das Dezimalsystem ist, gibt es andere Positionssystem wie binär.

binäre Arithmetik

Wir kennen Dezimalsystem, bestehend aus Single-Bit- und Multi-Bit-Zahlen. Die Figur auf der linken Seite in der stellige Zahl ist zehnmal größer Bedeutung für die auf der rechten Seite. So verwendeten wir 2 zu lesen, 17, 467, und so weiter. D. Es ist eine andere Logik und Annäherungsabschnitt, die aufgerufen wird, „binäre Arithmetik.“ Dies ist nicht verwunderlich, da binäre Arithmetik nicht für die menschliche Logik erstellt, und für den Computer. Wenn die Arithmetik der Zahlen aus der Zählung entstanden, die weiter von der Thema Immobilie zu abstrahieren „nackte“ Arithmetik, dann wird dies nicht mit dem Computer arbeiten. Um der Lage zu sein, ihr Wissen mit dem Computer zu teilen, hatte ein Mann eine Modellrechnung zu erfinden.

Binäre Arithmetik arbeitet mit dem binären Alphabet, die nur von 0 und 1 und die Verwendung dieses Alphabets besteht, wird ein binäres System genannt.

Im Gegensatz zu binären arithmetischen dezimal, dass die Bedeutung der Position der linken nicht mehr 10 und 2 mal. Binärzahlen sind von der Form 111, 1001 und so weiter. D. Wie sollen wir diese Zahlen zu verstehen? Daher betrachten wir die Zahl 1100

1. Die erste Ziffer auf der linken Seite – 1 * 8 = 8, wobei zu berücksichtigen ist, dass die vierte Stelle, was bedeutet, dass sie mit 2 multipliziert werden müssen, wir die 8-Position zu bekommen.
2. Zweite Ziffer 1 * 4 = 4 (Position 4).
3. Die dritte Ziffer 0 * 2 = 0 (Position 2).
4. Die vierte Ziffer 0 * 1 = 0 (Position 1).
5. So ist unsere Nummer 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

Das heißt, der Übergang zu einer neuen Kategorie links von seiner Bedeutung im Binärsystem mit 2 multipliziert wird und das Dezimalsystem – bis 10. Ein solches System hat einen Nachteil: es ist zu groß Wachstum Bits, die Zahlen aufnehmen erforderlich sind. Beispiele Dezimalzahlen dvochinyh wie in der folgenden Tabelle zu entnehmen.

Dezimalzahlen sind in binärer Form unten dargestellt.

Es ist auch Oktal und Hexadezimal-Nummerierungssystem verwendet.

Diese geheimnisvolle Arithmetik

Was ist Arithmetik, „zwei plus zwei“ oder unerforschte Geheimnisse der Zahlen? Wie Sie sehen können, Arithmetik, können sie, und es scheint auf den ersten Blick eine einfache, aber es ist nicht offensichtlich trügerische Leichtigkeit. Es ist möglich, Kinder, und zusammen mit Tante Eule aus dem Zeichentrickfilm „Arithmetic-Baby“ zu studieren, und Sie können in die tiefe wissenschaftliche Forschung fast philosophische Ordnung tauchen. In der Geschichte hat es von der Zählung Objekten zu verehren der Schönheit der Zahlen gegangen. Eines ist sicher: mit der Gründung der grundlegenden Postulate der Arithmetik, alle Wissenschaft auf ihrer starken Schulter verlassen kann.