Derivate Nummern: Berechnungsverfahren und Beispiele

Vielleicht das Konzept der Ableitung ist für uns alle seit der High School bekannt. Normalerweise Studenten haben Schwierigkeiten zu verstehen, ist dies zweifellos eine sehr wichtige Sache. Er wird aktiv in verschiedenen Bereichen des Lebens der Menschen verwendet, und viele technische wurden durch die Ableitung genau auf mathematischen Berechnungen erhalten basiert. Aber bevor Sie mit einer Analyse dessen, was ist ein Derivat von Zahlen, wie sie berechnen und wo sie sich als nützlich erweisen wird, ein wenig in die Geschichte einzutauchen.

Geschichte

Das Konzept der Ableitung, die die Grundlage der mathematischen Analyse ist, war offen (noch besser „erfunden“ zu sagen, weil es als solches ist, existiert nicht in der Natur) Isaakom Nyutonom, der alles, was wir von der Entdeckung des Gesetzes der Schwerkraft kennen. Er war es, der als erstes dieses Konzept für die Verbindlichkeit der Geschwindigkeit und Beschleunigung von Körpern in der Physik verwendet. Und viele Wissenschaftler loben noch Newton für diese großartige Erfindung, weil er in der Tat die Grundlage der Differential- und Integralrechnung erfunden, die tatsächlichen Grundlage des gesamten Gebiets der Mathematik „mathematische Analyse“ genannt. Ob zu der Zeit hätte den Nobelpreis, Newton wahrscheinlich es ein paar Mal erhalten.

Nicht ohne andere große Geister. Neben Newton auf der Entwicklung von derivativen und integral arbeiten so bedeutende Genies der Mathematik wie Leonhard Euler, Lagrange und Louis Gotfrid Leybnits. Es ist ihnen zu verdanken wir die Theorie von den , Differentialrechnung in der Form , in der sie bis heute existiert. Dies ist übrigens Leibniz die geometrische Bedeutung des Derivats entdeckt, die nicht mehr als die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion war.

Was ist ein Derivat von Zahlen? Bit wiederholen, was in der Schule nahm.

Was ist ein Derivat?

Definieren Sie dieses Konzept auf verschiedene Weise. Die einfachste Erklärung: Derivate – es ist die Änderungsrate der Funktion. Stellt den Graphen einer Funktion y von x. Wenn es nicht gerade ist, hat es einige Kurven in der grafischen Darstellung, die Perioden der Zunahme und Abnahme. Wenn Sie irgendeine unendlich Intervall des Zeitplan nehmen, wird es ein gerade Liniensegment sein. So ist das Verhältnis der Größe eines infinitesimal Segment des y auf die Größe der X-Koordinate, und wird eine Ableitung der Funktion zu einem bestimmten Punkt. Wenn wir die Funktion als Ganzes betrachten, anstatt an einem bestimmten Punkt, so erhalten wir eine Funktion des Derivats, dh eine gewisse Abhängigkeit von der X-Y.

Darüber hinaus abgesehen von der physikalischen Bedeutung des Derivats in Abhängigkeit von der Änderungsrate, gibt es auch einen geometrischen Sinn. Auf ihm diskutieren wir jetzt.

Die geometrische Bedeutung

Derivate Zahlen selbst sind eine bestimmte Anzahl, die kein richtiges Verständnis ist keine Bedeutung tragen. Es stellt sich heraus, daß das Derivat nicht nur die Wachstumsrate zeigt, oder die Funktion, verringern, und die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an diesem Punkt. Nicht ganz klare Definition. Lassen Sie uns im Detail untersuchen. Angenommen, wir haben einen Graphen einer Funktion (Zinskurve zu nehmen). Es hat eine unendliche Anzahl von Punkten, aber es gibt Bereiche, in denen nur ein einziger Punkt ein Maximum oder Minimum hat. Durch einen solchen Punkt können Sie eine gerade Linie zeichnen, die zu diesem Zeitpunkt auf dem Graphen der Funktion senkrecht sein würde. Diese Linie wird eine Tangente genannt werden. Angenommen, wir es bis zur Kreuzung mit der Achse OX gehalten. So zwischen der Tangente und der Achse erhalten OX und Winkel wird durch die Ableitung bestimmt werden. Genauer gesagt, wird die Tangente dieses Winkels, um es gleich sein.

Lassen Sie uns ein wenig über die besonderen Fällen sprechen und Derivate Lassen Sie uns die Zahlen untersuchen.

Sonderfälle

Wie wir bereits erwähnt haben, Derivate von Zahlen – ein Ableitungswert an einem bestimmten Punkt. Hier wird zum Beispiel , um die Funktion y = x ^2. Die Ableitung von x – Zahlen, aber im allgemeinen – eine Funktion gleich 2 * x. Wenn wir die Ableitung, beispielsweise an der Stelle x ₀ = 1 berechnen brauchen, erhalten wir y ‚(1) = 2 · 1 = 2. Alles ist sehr einfach. Ein interessanter Fall ist die Ableitung der komplexen Zahl. Gehen in eine detaillierte Erklärung, was eine komplexe Zahl, werden wir nicht. Es genügt zu sagen, dass diese Zahl, die die so genannte imaginäre Einheit enthält – die Zahl, deren Quadrat gleich -1. Die Berechnung dieser Ableitung ist nur möglich, unter den folgenden Bedingungen:

1) Es muss partiellen Ableitungen erster Ordnung der realen und imaginären Teile von Y und X.

2) die Bedingungen des Cauchy-Riemann, die mit teilweise Gleichheit im ersten Absatz beschrieben wird.

Ein weiterer interessanter Fall, wenn auch nicht so wie die vorherigen kompliziert, ist ein Derivat einer negativen Zahl. In der Tat können beliebige negative Zahlen als positives dargestellt werden, mit -1 multipliziert. Nun, die Ableitung und die konstante Funktion gleich eine Konstante, die durch die Ableitung der Funktion multipliziert.

Es wird interessant sein, über die Rolle von Derivaten in ihrem täglichen Leben zu lernen, und das ist jetzt und es zu diskutieren.

Anwendung

Wahrscheinlich jeder von uns mindestens einmal im Leben fängt mich bei dem Gedanken, dass die Mathematik unwahrscheinlich ist nützlich, um ihn zu sein. Und solch eine komplizierte Sache als Derivat hat wahrscheinlich keinen Gebrauch. In der Tat, die Mathematik – Grundlagenforschung, und alle seine Früchte entwickelt sich vor allem Physik, Chemie, Astronomie und auch die Wirtschaft. Derivative markiert den Beginn der mathematischen Analyse, die uns die Möglichkeit gab , Schlüsse aus den Graphen von Funktionen zu zeichnen, und wir gelernt haben , die Gesetze der Natur zu interpretieren und machen sie , weil es zu ihrem Vorteil.

Abschluss

Natürlich kann nicht jeder die Ableitung im wirklichen Leben nützlich sein. Aber Mathematik entwickelt Logik, die sicherlich benötigen. Nicht umsonst, denn Mathematik ist die Königin der Wissenschaften genannt: es eines grundlegenden Verständnisses von anderen Wissensgebieten bestehen.