Fourier-Transformation. Fast-Fourier-Transformation. Diskrete Fourier-Transformation

Fourier-Transformation – Transformation, eine bestimmte Funktion einer reellen Variablen zuordnet. Dieser Vorgang wird jedes Mal, wenn wir verschiedene Töne wahrnehmen, durchgeführt. Ohr erzeugt automatisch „Berechnung“, die unser Bewusstsein erfüllen kann erst nach der Prüfung des Abschnitts der höheren Mathematik. Organ in einer menschlichen Transformation hören konstruiert, in der der Ton (herkömmliche Schwingungsbewegung von Teilchen in einem elastischen Medium, das in Wellenform in dem festen, flüssigen oder gasförmigen Medium ausbreiten) wird in einem Bereich von aufeinanderfolgenden Werten der Lautstärke der Töne in unterschiedlichen Höhen vorgesehen ist. Danach schaltet das Gehirn die Informationen in all den vertrauten Klang.

Mathematische Fourier-Transformation

Die Umwandlung von Schallwellen oder anderen Schwingungsprozessen (durch Lichtemission und Meerwasser und zur stellaren oder Sonnen Zyklus) durchgeführt und mit Hilfe mathematischer Methoden werden kann. Somit ist diese Techniken können die Funktionen durch die Einführung von Schwingungsprozessen Sinuskomponenten eingestellt erweitert werden, das heißt wellige Kurven, die auf ein Maximum von einem Minimum gehen und dann wieder auf ein Minimum, wie die Welle des Meeres. Fourier Transformation – Transformationsfunktion, die die Phase oder Amplitude jeder Sinuskurve beschreibt, auf eine bestimmte Frequenz entspricht. Phase ist ein Startpunkt der Kurve und der Amplitude – der Höhe.

Fourier-Transformation (Beispiele werden in dem Foto zu sehen) ist ein sehr leistungsfähiges Werkzeug, das in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft verwendet wird. In einigen Fällen wird es als Lösung ziemlich komplexe Gleichungen verwendet, die die dynamischen Prozesse beschreiben, unter dem Einfluss von Licht, Wärme oder elektrischer Energie auftreten. In anderen Fällen ist es erlaubt Ihnen regelmäßige Komponenten in komplexen Wellenformen zu definieren, aufgrund dieses wahr sein kann verschiedene experimentelle Beobachtungen in Chemie, Medizin und Astronomie zu interpretieren.

historische Informationen

Die erste Person, die dieses Verfahren anzuwenden war der Französisch Mathematiker Zhan Batist Fure. Umwandlung, später nach ihm benannt wurde ursprünglich verwendet, um den Wärmeleitungsmechanismus zu beschreiben. Fourier sein ganzes Leben für Erwachsene in das Studium der Eigenschaften der Wärme beschäftigt. Er machte einen enormen Beitrag zur mathematischen Theorie der Bestimmung der Wurzeln algebraischer Gleichungen. Fourier Professor für Analyse an der Ecole Polytechnique, den Generalsekretär des Instituts für Ägyptologie war, war der kaiserliche Dienst, der für Aufsehen zu der Zeit des Bau der Straße nach Turin verursacht (unter seiner Führung wurde von mehr als 80 Tausend Quadratkilometern von Malaria-Sümpfen entwässert). Doch all dieser Aktivismus nicht stoppen, die in der mathematischen Analyse beschäftigt Wissenschaftler. Im Jahr 1802 wurde eine Gleichung abgeleitet, die die Ausbreitung von Wärme in Feststoffen beschreiben. Im Jahr 1807 entdeckten Wissenschaftler ein Verfahren zum Lösen dieser Gleichung, die als „Fouriertransformation“ bekannt wurde.

Wärmeleitfähigkeitsanalyse

Die Forscher verwendeten eine mathematische Methode, um den Wärmeleitungsmechanismus zu beschreiben. Ein praktisches Beispiel, bei dem keine Schwierigkeit bei der Berechnung die Ausbreitung von Wärmeenergie durch einen Eisenring ist, wobei ein Teil in einem Feuer eingetaucht. Zur Durchführung von Experimenten Fourier-glühenden Teil des Rings und begraben ihn in dem feinen Sand. Danach erfolgten die Temperaturmessungen desselben auf dem gegenüberliegenden Teil aus. Zu Beginn wird die Wärmeverteilung irregulären: Teil des Rings – kalt, und der andere – heiß, zwischen den Zonen kann ein scharfer Temperaturgradient beobachten. Jedoch während der Wärmeverteilung über die Metalloberfläche wird es gleichmäßiger. So bald dauert dieser Vorgang die Form einer Sinuswelle. Erster Graph nimmt allmählich abnimmt und auch problemlos, genau die Gesetze der Variation der Kosinus- oder Sinusfunktion. Welle allmählich ausgeglichen und als Folge die Temperatur wird gleichförmig auf der gesamten Oberfläche des Rings.

Der Autor dieses Verfahrens angenommen, dass die Anfangsverteilung ziemlich unregelmäßig ist, kann in eine Anzahl von elementaren Sinuswellen zerlegt werden. Jeder von ihnen wird seine Phase (Anfangsposition) und seine Maximaltemperatur. Somit ist jede solche Komponente ändert sich von einem Minimum zu einem Maximum und zurück zur vollständigen Umdrehung um den Ring Ganzzahl mal. Komponente mit einer Periode, die die Grundschwingung, und den Wert mit zwei oder mehr Perioden bezeichnet wurde – die zweite und so weiter. Zum Beispiel wird eine mathematische Funktion, die die maximale Temperatur beschreibt, bezeichnet die Phase oder die Position der Fourier der Verteilungsfunktion zu transformieren. Wissenschaftler brachte eine einzige Komponente, die mathematische Beschreibung, für einfach zu bedienende Werkzeuge schwierig ist – Reihen von Sinus und Cosinus, in Höhe des Gebens der Anfangsverteilung.

Das Wesen der Analyse

Die Anwendung dieser Analyse auf die Umwandlung von Wärmeverteilung auf dem festen Gegenstand, eine ringförmige Form aufweist, begründet ein Mathematiker, dass die zunehmende Zeiträume von sinusförmigen Komponenten seiner schnellen Dämpfung führen. Dies zeigt sich deutlich an den Haupt- und zweiten Harmonischen gesehen. Die endgültige Temperatur erreicht zweimal die Maximal- und Minimalwerte in einem einzigen Durchgang, und in dem ersten – nur einmal. Es stellt sich heraus, dass die Entfernung von Wärme, die in der zweiten Harmonischen gereist ist, dass die Hälfte des Kerns. Zusätzlich kann die Steigung der zweiten Hälfte wird auch steiler als die erste. Da ein intensiver Wärmefluss Witwe minimalen Abstand geht, dann wird dies schneller harmonische viermal dämpfenden als der Haupt, als Funktion der Zeit. Im Folgenden wird der Prozess noch schneller sein. Mathematiker angenommen, daß dieses Verfahren ermöglicht es uns, den Prozess der anfänglichen Verteilung der Temperatur mit der Zeit zu berechnen.

Call Zeitgenossen

Fourier-Transformations-Algorithmus hat zur Zeit eine Herausforderung für die theoretischen Grundlagen der Mathematik worden. Im frühen neunzehnten Jahrhundert, die meisten prominenten Wissenschaftler, darunter Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre und Biot nicht akzeptieren, seine Behauptung, dass die Temperatur der anfänglichen Verteilung in Form der Grundwelle und eine höhere Frequenz in Komponenten zerlegt. Allerdings könnte die Akademie der Wissenschaften ignorieren nicht die Mathematiker erzielten Ergebnisse, und er den Preis für die Theorie der Wärmeleitung der Rechtsvorschriften vergeben, sowie dessen Vergleich mit physikalischen Experimenten durchgeführt wird. In dem Fourier-Ansatz ist die Haupt Einwand die Tatsache, dass eine diskontinuierliche Funktion durch eine Summe von mehreren Sinusfunktionen dargestellt wird, die fortlaufend sind. Immerhin beschreiben sie die geraden und gebogenen Linien platzen. Moderne Wissenschaftler hatte noch nie eine solche Situation auftreten, wenn die diskontinuierlichen beschriebenen Funktionen durch eine Kombination von kontinuierlichen, wie quadratisch, linear, Sinus oder Aussteller. Für den Fall, dass ein Mathematiker in seinen Behauptungen richtig war, soll die Summe einer unendlichen Reihe von trigonometrischen Funktionen auf die genaue Geschwindigkeit begrenzt werden. Während ein solcher Anspruch schien absurd. Doch trotz der Zweifel einiger Forscher (zB Claude Navier, Sofi Zhermen) erweitert den Umfang der Forschung und führte sie aus der Analyse der Wärmeverteilung. Eine Mathematik setzte derweil die Frage zu leiden, ob eine Summe von mehreren Sinusfunktionen auf eine genaue Darstellung des Platzens reduziert wird.

200 Jahre Geschichte

Diese Theorie über zwei Jahrhunderte entwickelt hat, ist es heute endlich gebildet. Mit Hilfe der räumlichen oder zeitlichen Funktionen sind in Sinuskomponenten aufgebrochen, die eine Frequenz, Phase und Amplitude aufweisen. Diese Umwandlung wird durch zwei verschiedene mathematische Methoden erhalten. Die erste von ihnen ist in dem Fall verwendet, wenn die Quelle eine kontinuierliche Funktion ist, und die zweite – in dem Fall, wenn es durch eine Mehrzahl von diskreten einzelnen Änderungen repräsentiert wird. Wenn der Ausdruck von Werten erhalten wird, die in diskreten Intervallen definiert sind, kann es in mehrere diskrete Sinusfrequenzen Ausdrücke unterteilt werden – von der niedrigsten und dann verdoppelt, verdreifacht und so weiter über dem Grundton. Dieser Betrag wird als die Fourier – Reihe. Wenn der anfängliche Ausdruck den Wert jeder reellen Zahl setzt, kann es aufgeteilt in mehrere sinus aller möglichen Frequenzen sein. Es wird eine Fourier-Integral genannt, und die Entscheidung impliziert eine Transformation der Integralfunktion. Unabhängig von der Methode für die Transformation erhalten wird, für jede Frequenz angeben soll zwei Zahlen: Amplitude und Frequenz. Diese Werte werden als eine einzige ausgedrückt komplexe Zahl. Expression komplexe Variablen Theorie zusammen mit Fourier-Transformationsberechnungen durchzuführen erlaubte die Konstruktion von verschiedenen elektrischen Schaltungen, die Analyse der mechanischen Schwingungen, die Untersuchung des Wellenausbreitungsmechanismus und einem andere.

Fourier-Transformation heute

Heute kocht die Untersuchung dieses Prozesses im Grunde der Suche nach wirksamen Methoden für den Übergang von der Funktion unten, um es in dem Sinne zurückverwandeln. Diese Lösung wird die direkte und inverse Fourier-Transformation bezeichnet. Was bedeutet das? Um das Integral zu bestimmen und machen eine direkte Fourier – Transformation können Sie mathematische Methoden verwenden, aber Sie können analytisch. Trotz der Tatsache, dass, wenn sie in der Praxis verwendet werden, gibt es einige Schwierigkeiten, die meisten Integrale bereits in mathematischen Handbuch und traten ein. Mit Hilfe von numerischen Methoden berechnet Ausdrücke werden, deren Form basiert auf den experimentellen Daten, eine Funktion, deren Integrale in den Tabellen fehlen, und sie sind schwierig in einer analytischen Form vorzustellen.

Vor dem Aufkommen der Computertechnik Berechnungen solche Transformationen sehr mühsam gewesen sein, benötigen sie die manuelle Ausführung einer großen Anzahl von arithmetischen Operationen, die von der Anzahl der Punkte ab, die die Wellenfunktion beschreiben. Zur Erleichterung der heute die Siedlung gibt es spezielle Programme, erlaubt neue zu implementieren analytischen Methoden. Also, im Jahr 1965, Dzheyms Kuli und Dzhon Tyuki erstellt Software, die als "Fast-Fourier-Transformation" bekannt wurde. Es spart die Zeit der Berechnung durch die Anzahl der Multiplikationen in der Analyse der Kurve reduziert wird. „Fast Fourier Transform“ Die Methode basiert die Kurve in eine große Anzahl von einheitlichen Abtastwerte auf geteilt wird. Dementsprechend wird die Anzahl der Multiplikationen um die Hälfte bei der gleichen reduziert die Anzahl der Punkte reduziert wird.

Die Anwendung der Fourier-Transformation

In: Dieses Verfahren wird in verschiedenen Bereichen verwendet Zahlentheorie, die Physik, die Signalverarbeitung, Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitstheorie, Kryptographie, Statistiken, oceanography, Optik, Akustik und andere Geometrien. Reiche Möglichkeiten für den Einsatz auf einer Reihe von nützlichen Features basiert, die aufgerufen werden, „Eigenschaften der Fourier-Transformation.“ Wir wollen sie untersuchen.

1. Die Umwandlungsfunktion ist ein linearer Operator und eine entsprechende Normierung ist unitär. Diese Eigenschaft wird als Parseval-Theorem bekannt ist, oder im allgemeinen Fall, der Satz Plansherelja oder Pontrjagin Dualismus.

2. Die Umwandlung ist reversibel. Darüber hinaus ist das entgegengesetzte Ergebnis im wesentlichen ähnlichen Form wie bei der direkten Adressierung.

3. Die sinusförmigen Grund Ausdrücke sind, ihre eigenen differenzierten Funktionen. Dies bedeutet , dass ein solche Darstellung ändert lineare Gleichungen mit konstanten Koeffizienten in einem herkömmlichen algebraischen.

4. Nach dem „Faltung“ Theorem, macht das Verfahren eine komplexe Operation in elementarer Multiplikation.

5. Discrete Fourier auf einem Computer-Transformation kann unter Verwendung der „schnelle“ Methode schnell gestaltet.

Variationen der Fourier-Transformation

1. Meistens wird der Begriff bezieht sich auf eine kontinuierliche Transformation verwendet, jede quadratisch integrierbaren Expression als die Summe der komplexen exponentiellen Ausdruck mit spezifischen Winkel Frequenzen und Amplituden bereitzustellen. Diese Art hat verschiedene Formen, die verschiedenen konstanten Koeffizienten sein kann. Das kontinuierliche Verfahren beinhaltet eine Umwandlungstabelle, die in der mathematischen Handbuch gefunden werden kann. Ein verallgemeinerter Fall ist die fraktionale Umwandlung, wobei dieses Verfahren auf die gewünschte Wirkleistung erhöht werden.

2. Das kontinuierliche Verfahren ist eine Verallgemeinerung der früheren Technik der Fourier – Reihe definiert für alle periodischen Funktionen oder Ausdrücke, die in einem begrenzten Bereich vorhanden ist und für sie als eine Reihe von Sinusschwingungen.

3. Diskrete Fourier-Transformation. Diese Methode wird bei der Berechnung des für wissenschaftliche Berechnungen und digitale Signalverarbeitung verwendet. Um diese Art der Berechnung durchzuführen ist, erforderlich, um eine Funktion zu haben, einen diskreten Satzes von einzelnen Punkten auf der Bestimmung, periodischer oder begrenzter Bereich anstelle von kontinuierlichen Fourierintegralen. Signalumwandlung in diesem Fall wird als eine Summe von Sinuskurven dargestellt. Die Verwendung von „schnell“ Verfahren ermöglicht die Verwendung von digitalen Lösungen für alle praktischen Zwecke.

4. Die Fenster-Fourier-Transformation ist eine verallgemeinerte Ansicht der klassischen Methode. Im Gegensatz zu herkömmlichen Lösungen, wenn das Signalspektrum verwendet wird, die in dem gesamten Spektrum der Existenz dieser Variablen genommen wird, ist hier von besonderem Interesse ist nur die lokale Frequenzverteilung, während die ursprüngliche Variable beibehalten wird (Zeit).

5. Die zweidimensionale Fourier-Transformation. Dieses Verfahren wird verwendet, um mit zweidimensionalen Anordnungen von Daten zu arbeiten. In einem solchen Fall wird die Umwandlung in eine Richtung durchgeführt, und dann – in der anderen.

Abschluss

Heute ist die Fourier-Verfahren fest in den verschiedenen Bereichen der Wissenschaft verankert. Zum Beispiel 1962 öffnete es, die Form der Doppelhelix-DNA unter Verwendung von Fourier-Analyse in Verbindung mit Röntgenbeugung. Recent Kristalle konzentrierte sich auf DNA-Fasern, in einem Bild führt, das durch Beugung erhalten wird, auf dem Film aufgezeichnet. Dieses Bild hat Informationen über den Wert der Amplitude durch Verwendung der Fourier dieser Kristallstruktur verwandeln. Phasendaten erhalten, indem die DNA-Beugungskarten mit Karten vergleichen, die in der Analyse von ähnlichen chemischen Strukturen erhalten werden. Als Ergebnis gestellt Biologen Kristallstruktur – die ursprüngliche Funktion.

Fourier-Transformation in der Studie des Weltraums, die Physik der Halbleitermaterialien und Plasma, Mikrowelle Akustik, Ozeanographie, Radar, Seismik und medizinischer Untersuchungen eine große Rolle spielen.