Maclaurin und Zersetzung einiger Funktionen

höhere Mathematik studieren sollten sich bewusst sein, dass die Summe einer Potenzreihe im Intervall von Konvergenz einer Reihe von uns, ist eine kontinuierliche und beliebig oft eine differenzierte Funktion. Stellt sich die Frage: Ist es möglich, dass angesichts einer beliebigen Funktion f zu argumentieren (x) – ist die Summe einer Potenzreihe? Das heißt, unter welchen Bedingungen das f-gen f (x) durch eine Potenzreihe dargestellt werden? Die Bedeutung dieser Frage ist, dass es möglich ist, etwa £ Theologische f (x) ist die Summe der ersten Glieder einer Potenzreihe zu ersetzen, das ist ein Polynom. Eine solche Ersatzfunktion ist ganz einfach Ausdruck – Polynom – ist bequem und bestimmte Probleme bei der Lösung der mathematischen Analyse, nämlich Integrale bei der Lösung bei der Berechnung der Differentialgleichungen , etc …

Es ist bewiesen, dass für einige f-ii f (x), wobei die Derivate der (n + 1) -ter Ordnung berechnet werden kann, einschließlich der neuesten in der Nähe von (α – R; x ₀ + R) von einem Punkt x = α faire Formel:

Diese Formel ist nach dem berühmten Wissenschaftler Brooke Taylor benannt. Von denen eine Reihe von dem vorhergehenden abgeleitet wird, wird eine Serie Maclaurinschen genannt:

Eine Regel, die es möglich macht die Erweiterung in einer Maclaurin Serie zu produzieren:

1. Bestimmen, Derivate von ersten, zweiten, dritten, … um.
2. Berechnen Sie, was Derivate bei x = 0 ist.
3. Record Maclaurinschen Serie für diese Funktion, und dann das Konvergenzintervall zu bestimmen.
4. Bestimmen Intervall (-R; R), wobei der restliche Teil der Formel Maclaurinschen

R _n (x) -> 0 für n -> unendlich. Wenn ein solches vorhanden ist, muss es Funktion f (x) zur Summe der Maclaurin Serie gleich sein.

Betrachten wir nun die Maclaurin Serie für die einzelnen Funktionen.

1. Somit wird das erste f (x) = e ^{x werden.} Natürlich, dass ihre Eigenschaften so f-Ia eine Vielzahl von Aufträgen, und f ^{(k) (x)} = e ^x abgeleitet ^ist, wobei k alle gleich die natürlichen Zahlen. Ersatz x = 0. Erhalten wir f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 … Basierend auf dem Vorangegangenen, eine Anzahl von E ^x Es wird wie folgt aussehen:

2. Maclaurin Serie für die Funktion f (x) = sin x. angeben sofort , dass f-gen für alle unbekannten Derivate haben, neben f ^'(x) = cos x = sin (x + n / 2), ^{f' ‚(x)} = sin x = sin (x + 2 * n / ²⁾ , …, f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2), wobei k auf jede positive ganze Zahl gleich ist. Das heißt, einfache Berechnungen können wir schließen, dass die Serie für f (x) = sin x so sein wird:

3. Lassen Sie uns nun iju f-f (x) = cos x betrachten. Es ist nicht bekannt , für alle Ableitungen beliebiger Reihenfolge und ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 … Wieder ist es einige Berechnungen gemacht zu haben, so finden wir, dass die Serie für f (x) = x cos werden wie folgt aussehen:

So haben wir die wichtigsten Merkmale aufgeführt, die in einer Maclaurin Serie erweitert werden kann, aber sie ergänzen die Taylor-Reihe für einige Funktionen. Jetzt werden wir sie auch auflisten. Es sollte auch darauf hingewiesen werden, dass Taylor-Reihe und Maclaurin Serie ein wichtiger Bestandteil der Workshop Reihe von Entscheidungen in der höheren Mathematik ist. Also, Taylor-Reihe.

1. Die erste ist eine Reihe von F-II-f (x) = ln (1 + x). Wie in den vorhergehenden Beispielen für diese uns f (x) = ln (1 + x) kann eine Reihe zusammengefaltet werden, die allgemeine Form Maclaurinschen Serie. aber für diese Funktion Maclaurinschen kann viel leichter erhalten werden. Integrieren eine geometrische Reihe, so erhalten wir eine Zahl für f (x) = ln (1 + x) der Probe:

2. Und die zweite, die in diesem Artikel endgültig sein wird, wird eine Reihe für f (x) = arctg x sein. Für x zu dem Intervall gehör [-1; 1] gilt Zersetzung:

Das ist alles. In diesem Artikel habe ich die am häufigsten verwendete Taylor-Reihe und Maclaurin Serie in der höheren Mathematik, vor allem in den wirtschaftlichen und technischen Hochschulen befragt.