Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Die Gesetze der Wahrscheinlichkeitstheorie

Viele Menschen, wenn sie mit dem Begriff der „Wahrscheinlichkeitstheorie“ konfrontiert, erschrocken und dachte, dass es etwas unerträglich ist, sehr schwierig. Aber es ist eigentlich nicht so tragisch. Heute betrachten wir die grundlegenden Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie, lernen, Probleme durch konkrete Beispiele zu lösen.

Wissenschaft

Was einen Zweig der Mathematik als „Wahrscheinlichkeitstheorie“ studiert? Er stellt fest , Muster von zufälligen Ereignissen und Variablen. Zum ersten Mal der Frage der beteiligten Wissenschaftler im achtzehnten Jahrhundert, als das Spiel untersucht. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie – Ereignis. Es ist jede Tatsache, die durch die Erfahrung oder Beobachtung angegeben. Aber was ist Erfahrung? Ein weiterer Grundgedanke der Theorie der Wahrscheinlichkeit. Es bedeutet, dass dieser Teil der Umstände nicht versehentlich erstellt, und mit einem Zweck. Im Hinblick auf die Überwachung, ist es der Forscher selbst nicht in der Erfahrung beteiligt ist, sondern einfach ein Zeuge dieser Ereignisse hat sie keine Auswirkung auf das, was geschieht.

Geschehen

Wir erfuhren, dass das Grundkonzept der Wahrscheinlichkeitstheorie – das Ereignis, aber nicht Klassifizierung berücksichtigen hat. Alle von ihnen sind in folgende Kategorien unterteilt:

• Zuverlässig.
• Unmöglich.
• Zufall.

Egal, was der Fall ist, die im Laufe des Experiments beobachtet oder erstellt wird, werden sie von dieser Klassifizierung betroffen. Wir bieten jede Art von treffen getrennt.

bestimmte Ereignis

Dies ist eine Tatsache, die die notwendige Menge von Aktivitäten zu machen. Um das Wesen besser zu verstehen, ist es besser, ein paar Beispiele zu nennen. Dies untersteht das Gesetz und die Physik, Chemie, Wirtschaft und höhere Mathematik. Wahrscheinlichkeitstheorie beinhaltet ein so wichtiges Konzept als bedeutendes Ereignis. Hier sind einige Beispiele:

• Wir arbeiten und erhalten eine Vergütung in Form von Löhnen.
• Nun bestand die Prüfungen verabschiedete einen Wettbewerb für sie Vergütung in Form der Zulassung zu einer Bildungseinrichtung zu erhalten.
• Wir haben Geld in die Bank investiert haben, erhalten sie bei Bedarf zurück.

Solche Ereignisse sind wahr. Wenn wir alle notwendigen Voraussetzungen erfüllt haben, müssen Sie das erwartete Ergebnis zu erzielen.

unmögliches Ereignis

Nun betrachten wir die Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie. Wir bieten die Erläuterungen in den folgenden Arten von Ereignissen zu gehen – nämlich das Unmögliches. So starten Sie sehen vor, die wichtigste Regel – die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist gleich Null.

Aus dieser Formulierung kann nicht bei der Lösung von Problemen abgewichen werden. Um Beispiele für solche Ereignisse veranschaulichen:

• Das Wasser wird bei einer Temperatur von plus zehn gefriert (es ist unmöglich).
• Der Mangel an Elektrizität nicht die Produktion (so unmöglich, wie im vorherigen Beispiel) beeinflussen.

Weitere Beispiele gegeben werden, ist nicht notwendig, über sehr klar beschrieben, wie spiegelt das Wesen dieser Kategorie. Unmögliches Ereignis nie passiert während des Experiments unter keinen Umständen.

zufällige Ereignisse

Durch das Studium sollen die Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie, besonderes Augenmerk auf die gegebene Art der Veranstaltung bezahlt werden. Dies sind diejenigen, diese Wissenschaft zu studieren. Als Ergebnis der Erfahrung von etwas passieren kann oder nicht. Darüber hinaus kann der Test eine unbegrenzte Anzahl von Malen durchgeführt werden. Bemerkenswerte Beispiele sind:

• Werfen Sie die Münze – es ist ein Erlebnis, oder Test, Verlust eines Adlers – dieses Ereignis.
• Zieht den Ball aus dem Beutel blind – Test wurde rot Ball gefangen – dieses Ereignis und so weiter.

Solche Beispiele können eine unbegrenzte Anzahl, aber im Allgemeinen sein, zu verstehen sind. Um zusammenzufassen und das erworbene Wissen über die Ereignisse einer Tabelle zu systematisieren. Wahrscheinlichkeitstheorie Studien nur die letztere Art alles dargestellt.

Gesetze

Die Wahrscheinlichkeitstheorie – die Wissenschaft, die die Möglichkeit des Verlustes eines Ereignisses studiert. Wie die anderen, hat es einige Regeln. Folgende Gesetze der Wahrscheinlichkeitstheorie:

• Die Konvergenz von Sequenzen von Zufallsvariablen.
• Das Gesetz der großen Zahlen.

Wenn die Möglichkeit einer komplexen Berechnung können komplexe einfache Ereignisse verwendet werden, um Ergebnisse schneller und einfacher Art und Weise zu erreichen. Es sollte beachtet werden, dass die Gesetze der Wahrscheinlichkeitstheorie kann leicht mit Hilfe einiger der Sätze bewiesen werden. Wir schlagen vor, mit dem ersten Gesetz kennen zu lernen zu beginnen.

Die Konvergenz von Sequenzen von Zufallsvariablen

Beachten Sie, dass die Konvergenz verschiedenen Typen:

• Die Sequenz von Zufallsvariablen stochastischer Konvergenz.
• Fast unmöglich.
• RMS Konvergenz.
• Konvergenz in Verteilung.

Also, auf der Fliege, es ist sehr schwierig, das Wesen zu erfassen. Hier sind Definitionen, die das Thema verstehen helfen. Um mit dem ersten Blick zu beginnen. Die Sequenz wird stochastische Konvergenz genannt, wenn die folgende Bedingung: n gegen unendlich geht , die Anzahl von der Sequenz , die größer als Null ist und in der Nähe der Einheit.

Gehen Sie auf die nächste Ansicht, mit ziemlicher Sicherheit. Sie sagen , dass die Sequenz zu einem Zufallsvariable fast sicher konvergiert mit n gegen Unendlich tendiert, und R, dazu neigt , auf einen Wert nahe Eins.

Die nächste Art – eine Konvergenz von RMS. Wenn die SC-Lernen unter Verwendung der Konvergenz der Vektorzufallsprozesse reduziert sich auf die Untersuchung von Zufallsprozesse koordinieren.

War die letzte Art, lassen Sie uns einen kurzen Blick und direkt auf die Lösung von Problemen zu gehen. Konvergenz in Verteilung hat einen anderen Namen – „schwach“, dann erklären, warum. Schwache Konvergenz – ist die Konvergenz der Verteilungsfunktionen an allen Punkten der Kontinuität der Grenzverteilungsfunktion.

Achten Sie darauf, das Versprechen zu halten: schwache Konvergenz von allen oben genannten unterscheidet ist, dass der Zufallsvariable nicht auf dem Wahrscheinlichkeitsraum definiert ist. Dies ist möglich, weil die Bedingung ausschließlich Funktionen Verteilung unter Verwendung gebildet wird.

Das Gesetz der großen Zahlen

Große Helfer im Beweis des Gesetzes werden Sätze der Wahrscheinlichkeitstheorie sein, wie zum Beispiel:

• Chebyshev Ungleichheit.
• Chebyshev-Theorem.
• Generali Chebyshev Satz.
• Markov Theorem.

Wenn wir alle diese Sätze betrachten, dann kann das Problem mehrere Dutzend Blätter nehmen. Wir haben die Hauptaufgabe – ist die Anwendung der Wahrscheinlichkeitstheorie in der Praxis. Wir bieten Ihnen jetzt und es tun. Aber bevor wir die Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie betrachten, sie sind wichtige Partner der Lösung von Problemen.

Axiome

Von den ersten haben wir bereits gesehen, als über das unmögliche Ereignis zu sprechen. Erinnern wir uns: die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses Null ist. Beispiel haben wir eine sehr lebendig und unvergesslich: der Schnee bei einer Lufttemperatur dreißig Grad Celsius fiel.

Die zweite ist wie folgt: ein bestimmtes Ereignis eintritt mit einer Wahrscheinlichkeit von Eins. Jetzt werden wir zeigen, wie sie mit Hilfe mathematischer Sprache geschrieben ist: P (B) = 1.

Drittens: Ein zufälliges Ereignis passieren kann oder nicht, aber die Möglichkeit ist immer variiert von null auf eins. Je näher es ist die Einheit, desto mehr Chancen; wenn der Wert nahe bei Null liegt, ist die Wahrscheinlichkeit sehr gering. Wir schreiben dies in der Sprache der Mathematik: 0 <P (C) <1.

Betrachten Sie das letzte, vierte Axiom, das heißt: die Summe der Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse ist gleich der Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten. Schreiben Mathematisch ausgedrückt: P (A + B) = P (A) + P (B).

Die Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie – es ist eine einfache Regel, die nicht schwierig sein wird, sich zu erinnern. Lassen Sie uns versuchen, einige Probleme zu lösen, basierend auf bereits erworbenen Kenntnisse.

Lotterielos

Betrachten wir zuerst das einfachste Beispiel – eine Lotterie. Stellen Sie sich vor, dass Sie ein Lotterielos für Glück gekauft. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie mindestens zwanzig Rubel gewinnen? Gesamtauflage wird in tausend Tickets beteiligt, von denen einer einen Preis von fünfhundert Rubel, eintausend Rubel, zwanzig und fünfzig Rubel und hundert hat – fünf. Die Aufgabe der Theorie der Wahrscheinlichkeit auf, wie ein Weg, um Glück zu finden. Jetzt zusammen wir die Entscheidung über die Aufgaben Ansicht analysieren.

Wenn wir von einem Preis in Höhe von fünfhundert Rubel, dann ist die Wahrscheinlichkeit von A bezeichnen ist gleich 0,001. Wie kommen wir? Nur muß die Anzahl der „Glück“ Karten durch die Gesamtzahl (in diesem Fall: 1/1000) unterteilt.

In – eine Verstärkung von hundert Rubel, wird die Wahrscheinlichkeit auf 0,01 gleich. Jetzt haben wir in der gleichen Weise wie die letzte Aktion gehandelt (10/1000)

C – Auszahlung ist zwanzig Rubel. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit ist es gleich 0,05.

Der Rest der Karten, die wir nicht interessiert sind, als ihr Preisgeld ist weniger als in der Bedingung festgelegt. Anwenden ein viertes Axiom: Die Wahrscheinlichkeit von mindestens zwanzig Rubel gewinnen, ist P (A) + P (B) + P (C). Der Buchstabe P die Wahrscheinlichkeit der Entstehung des Ereignisses bezeichnet, die wir in den vorherigen Schritten haben bereits sie. Es bleibt nur die erforderlichen Daten festzulegen, die Antwort, die wir 0,061 erhalten. Diese Zahl wird die Antwort auf die Frage von Arbeitsplätzen sein.

Kartenspiel

Probleme auf der Wahrscheinlichkeitstheorie gibt es auch komplexere, zum Beispiel, nehmen Sie die nächste Aufgabe. Bevor Sie Deck von sechsunddreißig Karten. Ihre Aufgabe – zwei Karten in einer Reihe zu ziehen, ohne Flor Mischen der ersten und zweiten Karten Asse sein müssen, Anzüge sind nicht wichtig.

Um zu beginnen, findet die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Karte ein Ass ist, diese Kluft durch vier und sechsunddreißig. Legen Sie sie beiseite. Wir bekommen eine zweite Karte ein Ass mit einer Wahrscheinlichkeit von 335. ist. Die Wahrscheinlichkeit des zweiten Ereignisses hängt davon ab, welche Karte wir die erste gezogen wird, sind wir daran interessiert, war es ein Ass oder nicht. Daraus folgt, dass im Fall auf den Fall A. hängt

Der nächste Schritt, den wir die Wahrscheinlichkeit einer gleichzeitigen Umsetzung finden, dh multiplizieren A und B. Ihre Arbeit ist wie folgt: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses durch die bedingte Wahrscheinlichkeit eines anderen multipliziert, berechnen wir, unter der Annahme, dass das erste Ereignis aufgetreten ist, das heißt, die erste Karte gezogen wir ein Ass.

Um alle zu werden , ist klar, geben die Bezeichnung ein solches Element wie die bedingte Wahrscheinlichkeit von der Veranstaltung. Es wird berechnet, indem das Ereignis A geschah unter der Annahme. Es wird wie folgt berechnet: P (B / A).

Wir erweitern die Lösung für unser Problem: P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) oder P (A _* B) = P (B) _* P (A / B). Die Wahrscheinlichkeit ist (4/36) _* ((3/35) / (4/36) durch Runden auf das nächste Hundertstel berechnet Wir haben: .. _* 0,11 (0,09 / 0,11) = 0,11 _* 0, 82 = 0,09. die Wahrscheinlichkeit, dass wir zwei Asse in Folge ziehen gleich neun Hundertstel. der Wert sehr klein ist, folgt daraus, daß die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses extrem niedrig ist.

vergessen Zimmer

Wir bieten mehr Möglichkeiten der Arbeitsplätze ausmachen, die die Wahrscheinlichkeitstheorie studiert. Beispiele für Lösungen von einigen der diejenigen, die Sie in diesem Artikel gesehen haben, versuchen Sie das folgende Problem zu lösen: Der Junge vergessen, die Telefonnummer für die letzte Stelle seines Freundes, aber da der Anruf sehr wichtig war, dann begann jeder wiederum zu holen. Wir müssen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass er nicht mehr als dreimal so nennen würde. die einfachste Lösung des Problems, wenn Sie die Regeln, Gesetze und Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie kennen.

Bevor Sie eine Lösung zu sehen, die versuchen, auf eigene Faust zu lösen. Wir wissen, dass die letztgenannte Zahl von null bis neun sein kann, für insgesamt zehn Werte. Wahrscheinlichkeitsbewertung erforderlich ist 1/10.

Als nächstes müssen wir Optionen für den Ursprung der Ereignisse betrachten, nehmen wir an, dass der Junge richtig erraten und das Recht hat, ist die Wahrscheinlichkeit solcher Ereignisse auf 1/10 gleich. Die zweite Option: der erste Anruf slip, und das zweite Ziel. Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit solcher Ereignisse: 9/10 multipliziert mit 1/9 am Ende haben wir als 1/10 erhalten. Die dritte Option: der erste und der zweite Anruf erwies sich als die falsche Adresse sein, nur der dritte Junge war, wo er wollte. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit solcher Ereignisse: 9/10 multipliziert mit 8/9 und 1/8, so erhält man als Ergebnis von 1/10. Weitere Optionen auf dem Zustand des Problems, das wir nicht interessiert sind, bleibt dies für uns, diese Ergebnisse festgelegt wird, am Ende haben wir ein 3/10. Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge nennen würde nicht mehr als dreimal, gleich 0,3.

Karten mit Zahlen

Bevor Sie neun Karten, von denen jede eine Zahl von eins bis neun geschrieben wird, werden die Zahlen nicht wiederholt. Sie stecken in einem Kasten und gründlich mischen. Sie müssen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die

• eine gerade Anzahl gewalzt;
• eine zweistellige.

Vor der Entscheidung ausgehend, dass m festgelegt – ist die Zahl der erfolgreichen Fälle und n – ist die Gesamtzahl der Optionen. Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit finden, dass die Zahl gerade ist. Ist es nicht schwierig, dass gerade Zahlen von vier zu berechnen, und es ist unser m, alle neun möglichen Optionen, das heißt, m = 9. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, auf 0,44 oder 4/9 gleich.

Wir betrachten den zweiten Fall die Anzahl der Varianten von neun und ein erfolgreiches Ergebnis kann nicht sein, das heißt, m ist Null. Die Wahrscheinlichkeit, dass die längliche Karte eine zweistellige Zahl, als Null enthält.