Die Riemannsche Vermutung. Verteilung der Primzahlen

Im Jahr 1900, einer der größten Wissenschaftler des letzten Jahrhunderts, David Hilbert machte eine Liste bestehend aus 23 ungelösten Problemen der Mathematik. Die Arbeit an ihnen hat einen enormen Einfluss auf die Entwicklung dieser Bereich des menschlichen Wissens hatte. Nach 100 Jahren in Clay Mathematical Institute präsentierte eine Liste von sieben Problemen, wie die Millenniums-Ziele bekannt. Für die Entscheidung eines jeden von ihnen wurde mit dem Preis von $ 1 Million angeboten.

Das einzige Problem, das zu den zwei Listen von Puzzles war, seit Jahrhunderten nicht Ruhe Wissenschaftler gegeben hat, wurde die Riemannsche Vermutung. Sie wartet noch auf seine Entscheidung.

Kurze biographische Informationen

Georg Friedrich Bernhard Riemann wurde 1826 in Hannover, in einer großen Familie eines armen Pfarrer, und lebte nur 39 Jahre alt, geboren. Er schaffte es, 10 Papiere zu veröffentlichen. während der Laufzeit von Riemann jedoch hielt er einen Nachfolger seines Lehrers Johann Gauss. Auf 25 Jahre verteidigt junge Wissenschaftler seine These „Grundlagen der Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen.“ Später formulierte er seine Hypothese, die berühmt wurde.

Primzahlen

Mathematik kam, als man zählen gelernt. Dann entstand die erste Vorstellung von den Zahlen, die später zu klassifizieren versucht. Es wurde beobachtet, dass einige von ihnen gemeinsame Eigenschaften haben. Insbesondere unter den natürlichen Zahlen m. E. solche, die in der Berechnung (Numerierung) oder die bezeichneten Anzahl von Elementen verwendet worden waren, eine Gruppe von solchen zugeordnet, die nur durch eine und selbst geteilt ist. Sie wurden einfach genannt. Ein eleganter Beweis der Satz unendlichen Menge von Zahlen von Euklid in seinen „Elementen“ gegeben. Im Moment sind wir weiterhin ihre Suche. Insbesondere die größte einer Reihe von bekannten ^{2 74207281} – . 1

Eulersche Formel

Zusammen mit dem Begriff der unendlich viele Primzahlen Euklid definiert und dem zweiten Satz der einzig mögliche Faktorisierung. Nach es eine positive ganze Zahl ist das Produkt nur einen Satz von Primzahlen. Im Jahr 1737 äußerte sich der große deutsche Mathematiker Leonhard Euler erste Satz von Euklid auf die Unendlichkeit der Formel unten.

Es wird die Zeta-Funktion genannt, wobei s – eine Konstante und p alle einfachen Werten ist. Von ihm direkt gefolgt und Anerkennung der Einzigartigkeit der Expansion des Euklid.

Riemann Zeta-Funktion

Eulersche Formel bei näherer Betrachtung ist schon bemerkenswert, wie durch das Verhältnis zwischen den einfachen und ganzen Zahlen angegeben. Schließlich sind in ihrer linken Seite unendlich viele Ausdrücke multipliziert, die nur auf einfachen abhängen und in der richtigen Menge ist mit allen positiven ganzen Zahlen zugeordnet.

Riemann ging Euler. Um den Schlüssel für das Problem der Verteilung der Zahlen zu finden, wird vorgeschlagen, die Formel sowohl für die realen und komplexe Variablen zu definieren. Sie war es, die später als die Riemannsche Zeta-Funktion bekannt. Im Jahr 1859 veröffentlichten die Wissenschaftler einen Artikel mit dem Titel „über die Anzahl der Primzahlen, die nicht über einen vorbestimmten Wert überschreiten“, die alle ihre Ideen zusammengefasst.

Riemann schlug die Verwendung einer Reihe von Euler, konvergent für alle reellen s> 1. Wenn die gleiche Formel für komplex s verwendet wird, dann wird die Serie für jeden Wert der Variablen mit dem Realteil konvergieren größer als 1 ist Riemann die analytische Fortsetzung des Verfahrens verwendet, durch die Definition von zeta erweitert (s) für alle komplexen Zahlen, aber „werfen“ -Einheit. Es war nicht möglich, denn wenn s 1 zeta Funktion erhöht sich bis ins Unendliche =.

praktische Sinn

Stellt sich die Frage: Was ist interessant und wichtig Zeta-Funktion, die in der Arbeit von Riemann auf der Nullhypothese von entscheidender Bedeutung ist? Wie Sie wissen, ist im Moment nicht ein einfaches Muster gefunden, die die Verteilung der Primzahlen unter den natürlichen beschreibt. Riemann der Lage, dass die Anzahl von pi (x) von Primzahlen zu erfassen, die zu x nicht überlegen sind, durch die Verteilung der nichttrivialen Null zeta Funktion ausgedrückt wird. Darüber hinaus ist die Riemann-Hypothese eine notwendige Bedingung, um temporäre Bewertungen bestimmter Verschlüsselungsalgorithmen zu beweisen.

Die Riemann Hypothese

Eines der ersten Formulierungen dieses mathematischen Problems, bis heute nicht bewiesen ist: trivial 0 Zeta-Funktion – komplexe Zahlen mit Realteil ½ gleich. Mit anderen Worten, sie sind auf einer Geraden Re s = ½ angeordnet.

Es gibt auch eine verallgemeinerte Hypothese Riemann, die die gleiche Aussage ist, aber für Verallgemeinerung der Zeta-Funktionen, die die Dirichlet genannt werden (siehe. Foto unten) L-Funktionen.

In der Formel χ (n) – ein numerisches Zeichen (mod k).

Riemann Aussage ist die so genannte Nullhypothese, wie sie für die Übereinstimmung mit den bestehenden Beispieldaten verifiziert.

Wie ich argumentierte Riemann

Hinweis deutscher Mathematiker war ursprünglich ganz beiläufig formuliert. Tatsache ist, dass die Wissenschaftler zu diesem Zeitpunkt ein Satz über die Verteilung der Primzahlen beweisen würde, und in diesem Zusammenhang ist diese Hypothese nicht viel Wirkung. Allerdings ist seine Rolle in vielen anderen Fragen bei der Bewältigung enorm. Deshalb ist die Riemannsche Vermutung für jetzt viele Wissenschaftler die Bedeutung von unbewiesenen mathematischen Problemen erkennen.

Wie bereits gesagt wurde, den Satz über die Verteilung der vollständigen Riemann Hypothese zu beweisen, nicht notwendig ist, und ganz logisch beweisen, dass der reale Teil einer nicht-trivialer Null der Zeta-Funktion zwischen 0 und 1. Diese Eigenschaft bedeutet, dass die Summe aller 0-m Zeta-Funktion, die oben in der exakten Formel erscheinen, – endlich konstant. Für große Werte von x, kann sie alle verloren. Das einzige Mitglied der Formel, die unverändert auch bei sehr hohen x bleiben werden, x selbst. Der Rest der komplexen Bedingungen im Vergleich zu asymptotisch verschwinden. Somit neigt die gewichtete Summe x. Diese Tatsache kann als Beweis für die Richtigkeit des Primzahlsatzes in Betracht gezogen werden. Somit scheinen die Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion eine besondere Rolle. Es ist zu beweisen, dass diese Werte nicht wesentlich zur Expansion Formel beitragen können.

Riemann Anhänger

Der tragische Tod von Tuberkulose verhinderte die Wissenschaftler auf das logische Ende des Programms bringen. Aber er nahm den Stab aus dem W-F. de la Vallée Poussin und Zhak Adamar. Unabhängig voneinander hatten sie Primzahlsatz zurückgezogen. Hadamard und Poussin gelungen zu beweisen, dass alle nicht-triviale 0 Zeta-Funktion innerhalb des kritischen Bandes befindet.

Dank der Arbeit dieser Wissenschaftler, ein neuer Zweig der Mathematik – analytische Zahlentheorie. Später haben andere Forscher ein wenig primitiver Beweis des Satzes empfangen wurde in Rom zu arbeiten. Insbesondere haben Pal Erdös und Atle Selberg öffnete auch seine hochkomplexen Kette der Logik bestätigt, erfordert nicht die Verwendung von komplexen Analyse. An dieser Stelle haben jedoch die Idee von Riemann durch mehrere wichtige Sätze nachgewiesen worden, einschließlich der Angleichung der vielen Funktionen der Zahlentheorie. Im Zusammenhang mit dieser neuen Arbeit Erdős und Atle Selberg praktisch alles, was nicht betroffen.

Eine der einfachsten und schönsten Beweise für das Problem hat sich im Jahr 1980 von Donald Newman gefunden. Es wurde auf dem bekannten Cauchy-Theorem basiert.

Bedroht, wenn die Riemannsche Hypothese die Grundlage der modernen Kryptographie

Die Datenverschlüsselung entstand mit dem Auftreten von Zeichen, oder besser gesagt, sie selbst kann als der erste Code angesehen werden. Im Moment gibt es einen ganz neuen Trend der digitalen Kryptographie, die bei der Entwicklung von Verschlüsselungsalgorithmen eingreifen.

Einfach und „halbeinfach“ Zahl m. E. Diejenigen, die nur in zwei anderen Zahlen der gleichen Klasse geteilt, ist die Basis eines Public-Key-System, bekannt als RSA. Es hat eine breite Anwendung. Insbesondere ist es bei der Erzeugung einer elektronischen Signatur verwendet. Wenn wir in Bezug auf die verfügbaren „Teekanne“, die Riemann-Hypothese behauptet, die Existenz des Systems bei der Verteilung der Primzahlen sprechen. So deutlich Widerstand kryptographischen Schlüssel reduziert, auf denen die Sicherheit von Online-Transaktionen im E-Commerce ab.

Andere ungelöste mathematische Probleme

Kompletter Artikel lohnt sich, ein paar Worte zu anderen Aufgaben des Milleniums zu widmen. Dazu gehören:

• Gleichheit der Klassen P und NP. Das Problem wird wie folgt formuliert: wenn eine positive Antwort auf eine bestimmte Frage in polynomialer Zeit überprüft wird, dann ist es wahr, dass er selbst die Antwort auf diese Frage schnell gefunden werden kann?
• Hodge Vermutung. In einfachen Worten kann gesagt werden, wie folgt: für einige Arten von projektiven algebraischen Mannigfaltigkeiten (Leerzeichen) Hodge Zyklen sind Kombinationen von Objekten, die eine geometrische Interpretation, dh algebraische Zyklen haben …
• Poincaré-Vermutung. Es ist das einzige im Moment Millennium Probleme erwiesen. Nach ihm ein dreidimensionales Objekt spezifische Eigenschaften der 3-dimensionalen Kugel aufweist, muss die Kugel gegen Verformung genau sein.
• Die Genehmigung der Quanten Yang – Mills Theorie. Wir müssen diese Quantentheorie beweisen, legte durch diese Wissenschaftler in den Raum R ^4, gibt es eine 0-Massendefekt für jede einfache Kalibrierung einer kompakten Gruppe G.
• Die Hypothese der Birch – Swinnerton-Dyer. Dies ist ein weiteres Problem, das relevant ist die Kryptographie. Es geht um die elliptischen Kurven.
• Das Problem der Existenz und Glätte von Lösungen der Navier – Stokes-Gleichungen.

Jetzt wissen Sie, die Hypothese Riemann. Vereinfacht gesagt haben wir formuliert und einige der anderen Ziele des Jahrtausends. Die Tatsache, dass sie gelöst werden oder es ist bewiesen, dass sie keine Lösung haben – es ist eine Frage der Zeit. Und dies ist unwahrscheinlich, dass eine zu lange warten, da die Mathematik immer mehr Rechenleistung von Computern verwenden. Allerdings ist nicht alles, was in der Technik Thema und wissenschaftliche Probleme in erster Linie Intuition und Kreativität erfordert zu lösen.