Die Theorie der Wahrscheinlichkeit. Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, gelegentliche Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie). Unabhängige und unvereinbar Entwicklungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie

Es ist unwahrscheinlich, dass viele Leute denken, dass es möglich ist, Ereignisse zu zählen, die zu einem gewissen Grad zufällig. Um es in einfachen Worten ausgedrückt, ist es realistisch zu wissen, welche Seite des Würfels in den Würfeln beim nächsten Mal wird fallen. Es war diese Frage zwei große Wissenschaftler zu stellen, legte den Grundstein für diese Wissenschaft, die Theorie der Wahrscheinlichkeit, die Wahrscheinlichkeit für den Fall , in dem die ausführlich genug untersucht.

Generation

Wenn Sie versuchen, ein solches Konzept als die Theorie der Wahrscheinlichkeit zu definieren, erhalten wir die folgende: Das ist einer der Zweige der Mathematik ist, dass die Konstanz von zufälligen Ereignissen untersucht. Offensichtlich ist dieses Konzept wirklich nicht offenbart das Wesen, so müssen Sie es genauer betrachten.

Ich möchte mit den Gründern der Theorie starten. Wie oben bereits erwähnt, gab es zwei, dass Per Ferma und Blez Paskal. Sie waren die ersten mit Hilfe von Formeln versucht und mathematischen Berechnungen das Ergebnis eines Ereignisses zu berechnen. Im Allgemeinen ist die Rudimente dieser Wissenschaft auch im Mittelalter. Während verschiedene Denker und Wissenschaftler haben versucht, die Casino-Spiele wie Roulette, Craps zu analysieren, und so weiter, wodurch ein Muster, und der prozentuale Verlust einer Reihe zu etablieren. Die Stiftung wurde auch im siebzehnten Jahrhundert gelegt war es der oben genannte Gelehrter.

Zunächst konnte ihre Arbeit nicht zu den großen Leistungen in diesem Bereich zurückgeführt wird, nach allem, was sie taten, waren sie einfach empirische Tatsachen und Experimente klar Formeln ohne Verwendung waren. Im Laufe der Zeit stellte sich gute Ergebnisse zu erzielen, die als Ergebnis der Beobachtung der Besetzung der Knochen erschienen. Es ist dieses Instrument hat dazu beigetragen, jeweils die erste Formel zu bringen.

Unterstützer

Ganz zu schweigen von solchen Mann, wie Christiaan Huygens, in dem Prozess, das Thema zu studieren, die den Namen „Wahrscheinlichkeitstheorie“ trägt (Wahrscheinlichkeit des Ereignisses unterstreicht es in dieser Wissenschaft). Diese Person ist sehr interessant. Er, sowie Wissenschaftler oben dargestellt werden in Form von mathematischen Formeln versucht, ein Muster von zufälligen Ereignissen abzuleiten. Es ist bemerkenswert, dass er es nicht teilen mit Pascal und Fermat, dass all seiner Arbeit ist nicht mit diesen Köpfen überlappt. Huygens abgeleitet die grundlegenden Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Eine interessante Tatsache ist, dass seine Arbeit, bevor die Ergebnisse der Arbeiten der Pioniere lang kam, um genau zu sein, zwanzig Jahre zuvor. Es gibt nur unter den identifizierten Konzepte waren:

• wie das Konzept der Wahrscheinlichkeitswert Chance;
• Erwartung für den diskreten Fall;
• Theoreme der Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten.

Auch kann man nicht vergessen, Yakoba Bernulli, der auch auf die Untersuchung des Problems beigetragen. Durch ihre eigenen, war keiner von ihnen sind unabhängige Tests, er in der Lage Beweis für das Gesetz der großen Zahlen zu liefern. Im Gegenzug Wissenschaftler Poisson und Laplace, die im frühen neunzehnten Jahrhundert war, konnte den ursprünglichen Satz beweisen. Von diesem Moment an Fehlern in den Beobachtungen zu analysieren haben wir begonnen, Wahrscheinlichkeitstheorie. Party um diese Wissenschaft konnte und russischen Wissenschaftlern, sondern Markov, Tschebyscheff und Dyapunov. Sie sind auf die Arbeit getan großen Genies basiert, sicherte das Thema als ein Zweig der Mathematik. Wir arbeiteten diese Zahlen am Ende des neunzehnten Jahrhunderts, und dank ihren Beitrag hat Phänomene erwiesen, wie zum Beispiel:

• Gesetz der großen Zahlen;
• Theorie der Markov-Ketten;
• Der zentrale Grenzwertsatz.

So ist die Geschichte der Geburt der Wissenschaft und mit den großen Persönlichkeiten, die dazu beigetragen hat, ist alles mehr oder weniger klar. Jetzt ist es Zeit zu konkretisieren, alle Fakten.

Grundkonzepte

Bevor Sie die Gesetze und Theoreme berühren sollten die grundlegenden Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie lernen. Ereignis es nimmt eine dominante Rolle. Dieses Thema ist sehr umfangreich, aber nicht in der Lage sein, ohne dass es die ganzen Rest zu verstehen.

Ereignis in der Theorie Wahrscheinlichkeit – es Jeder Satz von Ergebnissen des Experiments. Konzepte für dieses Phänomen gibt es nicht genug. So arbeiten in diesem Bereich Lotman Wissenschaftler haben zum Ausdruck gebracht, dass in diesem Fall über die wir sprechen, was „passiert ist, obwohl es nicht passieren könnte.“

Zufällige Ereignisse (Wahrscheinlichkeitstheorie legt besonderes Augenmerk auf sie) – ist ein Konzept , das absolut jedes Phänomen mit der Möglichkeit besteht darin auftreten. Oder, im Gegenteil, kann dieses Szenario nicht in der Erfüllung einer Reihe von Bedingungen geschehen. Es lohnt sich auch zu wissen, dass das gesamte Volumen der auftretenden Phänomene nur zufällige Ereignisse belegen. Die Wahrscheinlichkeitstheorie deutet darauf hin, dass alle Bedingungen ständig wiederholt werden können. Es ist ihr Verhalten hat „Erfahrung“ oder genannt „Test“.

Bedeutsames Ereignis – das ist ein Phänomen, das zu hundert Prozent in diesem Test ist geschehen. Dementsprechend ist das unmögliche Ereignis – das ist etwas, das nicht geschieht.

Paare Aktion (konventionell der Fall A und Fall B) zu verbinden, ist ein Phänomen, das gleichzeitig auftritt. Sie werden als AB bezeichnet.

Die Menge der Paare von Ereignissen A und B – C ist, mit anderen Worten, wenn mindestens einer von ihnen wird (A oder B), erhalten Sie eine C die Formel beschrieben Phänomen, das als C = A + B geschrieben

Inkompatible Entwicklungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie impliziert, dass die beiden Fälle gegenseitig ausschließen. Zur gleichen Zeit sind sie in jedem Fall nicht auftreten kann. Gemeinsame Veranstaltungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie – es ist ihre Antipoden. Die Implikation ist, dass, wenn A passiert ist, ist es nicht C nicht entgegensteht,

Gegenläufige das Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie hält sie für sehr ausführlich), sind leicht zu verstehen. Es ist am besten mit ihnen im Vergleich zu beschäftigen. Sie sind fast die gleichen wie unvereinbar Entwicklungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Allerdings ist ihr Unterschied ist, dass ein von einer Vielzahl von Erscheinungen in jedem Fall auftreten sollte.

Ebenso wahrscheinlich Ereignisse – diese Maßnahmen ist die Möglichkeit der Wiederholung gleich. Um es klar zu machen, können Sie sich vorstellen, eine Münze zu werfen: Verlust von einem seiner Seiten ist gleich wahrscheinlich Verlust andere.

es ist leichter, das Beispiel für die Begünstigung der Veranstaltung zu berücksichtigen. Angenommen, es gibt eine Episode in der Episode A. Die ersten – eine Rolle eines Würfels mit dem Aufkommen einer ungeraden Zahl, und die zweiten – das Aussehen der Nummer fünf auf dem Würfel. Dann stellt sich heraus, dass eine bevorzugte V.

Unabhängige Ereignisse in der Wahrscheinlichkeitstheorie projiziert werden nur auf zwei oder mehr Gelegenheiten und beinhalten unabhängig von jeder Aktion von der anderen Seite . Zum Beispiel kann ein – bei Verlust tails Münzwurf und B – dostavanie Buchse vom Deck. Sie haben unabhängige Ereignisse in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Von diesem Moment an wurde klar.

Abhängige Ereignisse in der Wahrscheinlichkeitstheorie ist auch zulässig, nur für ihr Set. Sie implizieren Abhängigkeit von einem auf der anderen Seite, das heißt, das Phänomen in nur in dem Fall auftreten kann, wenn ein bereits eingetreten ist oder, im Gegenteil, ist nicht geschehen, wenn es – die wichtigste Voraussetzung für B.

Das Ergebnis des Zufallsexperiments, bestehend aus einer einzelnen Komponente – es ist Elementarereignis. Die Wahrscheinlichkeitstheorie sagt, dass es ein Phänomen, das nur einmal durchgeführt wird.

Grundformel

So wurden die oben den Begriff „Ereignis“, „Wahrscheinlichkeitstheorie“, Definitionen der Schlüsselbegriffe dieser Wissenschaft betrachtet wurde ebenfalls gegeben. Jetzt ist es Zeit vertraut zu machen, sich mit den wichtigen Formeln. Diese Ausdrücke werden mathematisch alle wichtigen Konzepte in einem so schwierigen Thema wie der Wahrscheinlichkeitstheorie bestätigt. Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und spielt eine große Rolle.

Besser mit den grundlegenden Formeln der Kombinatorik zu starten. Und bevor Sie sie starten, ist es eine Überlegung wert, was es ist.

Kombinatorik – ist in erster Linie ein Zweig der Mathematik, er eine große Anzahl von ganzen Zahlen und verschiedenen Permutationen der beiden Zahlen und ihren Elemente, verschiedenen Daten zu studieren, usw. ist, zu einer Reihe von Kombinationen führend … Neben der Wahrscheinlichkeitstheorie ist diese Industrie wichtig für die Statistik, Informatik und Kryptographie.

So, jetzt können Sie die Präsentation von sich selbst bewegen auf und ihre Definition Formeln.

Die erste von diesen ist der Ausdruck für die Anzahl von Permutationen, ist es wie folgt:

P_n = n ⋅ (n – 1) ⋅ (n – 2) … 3 2 ⋅ ⋅ 1 = n!

Gleichung gilt nur für den Fall, wenn die Elemente nur in der Reihenfolge der Anordnung unterscheiden.

Jetzt Platzierung Formel, sieht es wie folgt berücksichtigt werden:

A_n ^ m = n ⋅ (n – 1) ⋅ (n-2) ⋅ ⋅ … (n – m + 1) = n! : (N – m)!

Dieser Ausdruck ist nicht nur auf das einzige Element der Auftragserteilung, sondern auch auf seine Zusammensetzung.

Die dritte Gleichung der Kombinatorik, und es ist die letztere, die Formel für die Anzahl von Kombinationen genannt:

C_n ^ m = n! : ((N – m))! : M!

Kombination genannte Probenahme, die nicht geordnet sind, die jeweils zu und diese Regel angewendet.

Mit den Formeln der Kombinatorik leicht zu verstehen kamen, können Sie nun auf die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit gehen. Es sieht aus wie dieser Ausdruck wie folgt:

P (A) = m: n.

In dieser Formel ist m – ist die Zahl der Bedingungen, die für den Fall A, und n – Anzahl der gleichermaßen und vollständig alle Elementarereignisse.

Es gibt viele Ausdrücke in dem Artikel wird nicht alles in Betracht gezogen werden, aber die wichtigsten sind betroffen sein, wie beispielsweise die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen beträgt:

P (A + B) = P (A) + P (B) – dieser Satz nur für sich gegenseitig ausschließende Ereignisse hinzuzufügen;

P (A + B) = P (A) + P (B) – P (AB) – aber das ist nur für das Hinzufügen kompatibel.

Die Wahrscheinlichkeit der Veranstaltung Werke:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) – Dieses Theorem für unabhängige Ereignisse;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) – und das für die abhängig.

Ended Liste der Ereignisse Formel. Die Wahrscheinlichkeitstheorie sagt uns Theorem Bayes, die wie folgt aussieht:

P (H_m | a) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, …, n

In dieser Formel H _1, H _2, …, H _n – ist ein kompletter Satz von Hypothesen.

An diesem Anschlag wird Proben Formeln Anwendung nun für bestimmte Aufgaben aus der Praxis berücksichtigt werden.

Beispiele

Wenn Sie sorgfältig jeden Zweig der Mathematik studieren, ist es nicht ohne Übungen und Musterlösungen. Und die Theorie der Wahrscheinlichkeit: Ereignisse, hier Beispiele sind ein integraler Bestandteil der wissenschaftlichen Berechnungen bestätigt.

Die Formel für die Anzahl der Permutationen

Zum Beispiel in einem Kartendeck dreißig Karten haben, mit dem nominalen Ausgang. Nächste Frage. Wie viele Möglichkeiten, um das Deck zu falten, so dass die Karten mit einem Nennwert von eins und zwei nicht weiter entfernt wurden?

Die Aufgabe gesetzt, jetzt wollen wir damit umgehen bewegen. Zuerst die Anzahl der Permutationen von dreißig Elemente bestimmen, müssen zu diesem Zweck nehmen wir die obige Formel, es stellt sich P_30 = 30!.

Auf der Grundlage dieser Regel, wir wissen, wie viele Möglichkeiten es gibt, das Deck legen in vielerlei Hinsicht, aber wir müssen von ihnen abgezogen werden, in denen die erste und die zweite Karte der nächsten sein. Um dies zu tun, beginnen Sie mit einer Variante, wenn die erste auf dem zweiten befindet. Es stellt sich heraus, dass die erste Karte kann neunundzwanzig Plätze nehmen – von der ersten bis neunundzwanzigsten, und die zweite Karte von der zweiten auf die dreißig, dreht sich neunundzwanzig Sitze für Paare von Karten. Im Gegenzug können die andere nehmen achtundzwanzig Sitze und in beliebiger Reihenfolge. Das heißt, für die Umlagerung der achtundzwanzig Karten haben achtundzwanzig Optionen P_28 = 28!

Das Ergebnis ist, dass, wenn wir die Entscheidung betrachten, wenn die erste Karte auf der zweite Extra Möglichkeit ist 29 ⋅ 28 zu erhalten! = 29!

Mit der gleichen Methode, müssen Sie die Anzahl der redundanten Optionen für den Fall berechnen, wenn die erste Karte wird unter dem zweiten befindet. Auch 29 ⋅ 28 erhalten! = 29!

Daraus folgt, dass die zusätzlichen Optionen 2 ⋅ 29!, Während die notwendigen Mittel zu sammeln das Deck 30! – 2 ⋅ 29!. Es bleibt nur zu berechnen.

30! = 29! ⋅ 30; 30-2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30-2) = 29! ⋅ 28

Jetzt müssen wir alle Zahlen miteinander multiplizieren 1-29, und dann am Ende alle, multipliziert mit 28. Die Antwort erhalten 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Beispiele für Lösungen. Die Formel für die Anzahl der Unterkunft

In diesem Problem, müssen Sie herausfinden, wie viele es gibt Möglichkeiten, die fünfzehn Bände in einem Regal zu stellen, aber unter der Bedingung, dass nur dreißig Bände.

In dieser Aufgabe ist die Entscheidung ein wenig leichter als die vorherigen. Unter Verwendung der bereits bekannten Formel, ist es notwendig, die Gesamtzahl der dreißig Standorten fünfzehn Bände zu berechnen.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ … ⋅ 28⋅ (30 – 15 + 1) = 30 ⋅ ⋅ 29 28 ⋅ … ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Antwort wird jeweils sein, gleich 202 843 204 931 727 360 000.

Nehmen Sie nun die Aufgabe, ein wenig schwieriger. Sie müssen wissen, wie viele es gibt Möglichkeiten, die zweiunddreißig Bücher in den Regalen, mit der Maßgabe, dass nur fünfzehn Band auf demselben Regal befinden können zu arrangieren.

Vor dem Beginn der Entscheidung möchte klarstellen, dass einige der Probleme auf verschiedene Weise gelöst werden kann, und in diesem gibt es zwei Möglichkeiten, aber in beide ein und derselben Formel angewandt wird.

In dieser Aufgabe können Sie die Antwort von dem vorherigen nehmen, denn es haben wir die Anzahl der Male berechnet man das Regal für fünfzehn Bücher auf unterschiedliche Weise ausfüllen kann. Es stellte sich A_30 ^ 15 = 30 ⋅ ⋅ 29 28 ⋅ … ⋅ (30 – 15 + 1) = 30 ⋅ ⋅ 29 28 ⋅ … ⋅ 16.

Das zweite regiment durch die Formel Umbildung berechnet, weil es fünfzehn Pfund platziert wird, während die restlichen fünfzehn. Wir verwenden Formel P_15 = 15!.

Es stellt sich heraus, dass die Summe wird A_30 ^ 15 ⋅ P_15 Wege, sondern darüber hinaus das Produkt aller Zahlen von 30 bis 16 würde durch das Produkt aus den Zahlen 1 bis 15, am Ende 1 bis 30 das Produkt aller Zahlen entpuppen multipliziert werden, dass die Antwort ist 30!

Aber dieses Problem kann auf eine andere Weise gelöst werden – einfacher. Um dies zu tun, kann man sich vorstellen, dass es ein Regal für dreißig Bücher. Alle von ihnen sind auf dieser Ebene angeordnet, sondern weil die Bedingung erfordert, dass zwei Regale dort waren, eine lange wir in zwei Hälften gesägt, zwei Umdrehungen fünfzehn. Daraus stellt sich heraus, dass P_30 für diese Anordnung = 30 sein kann!.

Beispiele für Lösungen. Die Formel für die Anzahl der Kombinationen von

Wer ist eine Variante des dritten Problems der Kombinatorik betrachtet. Sie müssen wissen, wie viele Möglichkeiten es gibt fünfzehn Bücher über den Zustand ordnen, die Sie von dreißig genau gleich entscheiden müssen.

Für die Entscheidung wird natürlich die Formel für die Anzahl der Kombinationen anwenden. Aus der Bedingung, dass es wird deutlich, dass die Reihenfolge der gleichen fünfzehn Bücher nicht wichtig ist. Also zunächst müssen Sie die Gesamtzahl der Kombinationen von dreißig fünfzehn Bücher erfahren.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Das ist alles. Mit dieser Formel, in kürzester Zeit möglich, ein solches Problem zu lösen, um die Antwort jeweils gleich 155.117.520.

Beispiele für Lösungen. Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit

Unter Verwendung der oben angegebenen Formel kann man eine Antwort auf eine einfache Aufgabe. Aber es wird deutlich den Verlauf der Aktion sehen und befolgen.

Die Aufgabe gegeben, dass in einer Urne gibt es zehn völlig identische Kugeln. Von diesen vier gelben und sechs blau. Entnommen aus der Urne einer Kugel. Es ist notwendig, die Wahrscheinlichkeit dostavaniya blau zu kennen.

Zur Lösung des Problems ist es notwendig, dostavanie blaue Kugel Ereignis A. zu benennen, kann diese Erfahrung zehn Folgen haben, was wiederum, elementar und gleich wahrscheinlich. Zur gleichen Zeit, sechs der zehn sind günstig für das Ereignis A. Lösen Sie die folgende Formel:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Die Anwendung dieser Formel haben wir gelernt, dass die Möglichkeit dostavaniya blaue Kugel ist 0.6.

Beispiele für Lösungen. Die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen Menge

Wer wird eine Variante, die unter Verwendung der Formel der Wahrscheinlichkeit von Ereignissen Menge gelöst. Also, angesichts der Bedingung, dass es zwei Fälle, die erste sind grau und fünf weiße Kugeln, während die zweiten – acht graue und vier weißen Kugeln. Als Ergebnis haben die ersten und zweiten Boxen auf einem von ihnen genommen. Es ist notwendig, um herauszufinden, was sind die Chancen, dass die Kugeln sind grau und weiß fehlte.

Um dieses Problem zu lösen, ist es notwendig, um das Ereignis zu identifizieren.

• Somit A – Wir haben eine graue Kugel aus der ersten Box: P (A) = 1/6.
• A '- weiße Lampe auch aus der ersten Box genommen: P (A') = 5/6.
• Die – bereits extrahierten Grau Kugel aus der zweiten Leitung: P (B) = 2/3.
• B '- nahm eine graue Kugel der zweiten Schublade: P (B') = 1/3.

Nach dem Problem ist es notwendig, dass eines der Phänomene passiert: AB ‚oder‘ B. Mit Hilfe der Formel erhalten wir: P (AB ‚) = 18.01, P (A'B) = 10/18.

Nun ist die Formel, um die Wahrscheinlichkeit der Multiplikation verwendet. Als nächstes die Antwort zu erfahren, müssen Sie ihre Gleichung anzuwenden und fügte hinzu:

P = P (AB '+ A'B) = P (ab') + P (A'B) = 11/18.

Das ist, wie unter Verwendung der Formel, können Sie solche Probleme zu lösen.

Ergebnis

Das Papier wurde mit den Informationen auf „Wahrscheinlichkeitstheorie“ präsentiert, die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen, die eine wichtige Rolle spielen. Natürlich ist nicht alles berücksichtigt, sondern auf der Grundlage des Textes dargestellt, können Sie theoretisch mit diesem Zweig der Mathematik kennen lernen. Betrachten die Wissenschaft kann nicht nur im Profigeschäft, sondern auch im Alltag nützlich sein. Sie können es verwenden, um jede Möglichkeit eines Ereignisses zu berechnen.

Der Text wurde auch durch wichtige Daten in der Geschichte der Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie als Wissenschaft, und die Namen der Personen, deren Werke wurden in sie gesetzt betroffen. Das ist, wie die menschliche Neugier hat dazu geführt, dass die Menschen, auch zufällige Ereignisse zählen gelernt haben. Sobald sie sind nur daran interessiert, dies, aber heute ist es bereits allen bekannt. Und niemand kann sagen, was uns in der Zukunft passieren wird, was andere glänzende Entdeckungen der Theorie unter Berücksichtigung im Zusammenhang würde begangen werden. Aber eines ist sicher – die Studie noch ist es nicht wert!