Polyhedra. Arten von Polyeder und ihre Eigenschaften

Polyhedra nicht nur einen prominenten Platz in der Geometrie besetzen, sondern auch im täglichen Leben eines jeden Menschen auftreten. Ganz zu schweigen von den künstlichen verwandten Artikel in einer Vielzahl von Polygonen, aus der Matchbox Start und architektonische Elemente in der Natur endet auch Kristalle in Form eines Würfels auftreten (Salz), Prismen (Kristall), Pyramide (Scheelit), Oktaeder (Diamant), usw. . d.

Das Konzept eines Polyeder, in Geometrietypen von Polyeder

Geometry Wissenschaft umfasst stereometry Abschnitt , die mit den Merkmalen und Eigenschaften von Schütt befassen Formen. Geometrische Körperseiten sind im dreidimensionalen Raum gebildet , begrenzt durch Flächen (Facetten) sind bekannt als „polytopes“. Arten von Polyeder haben mehr als ein Dutzend Vertreter der unterschiedlichen Anzahl und Form der Gesichter.

Dennoch haben alle Polyeder gemeinsame Eigenschaften:

1. Sie haben alle drei integrale Bestandteile: die Fläche (polygonale Fläche), die Oberseite (der gebildeten Winkel in der Boden Facetten-Verbindung), eine Kante (Seiten- oder Schnittformen an der Kreuzung von zwei Flächen gebildet wird).
2. Jede Polygonkante verbindet die zwei und nur zwei Flächen, die in Bezug zueinander sind, sind nebeneinander.
3. Die Ausbuchtung bedeutet, dass der Körper vollständig auf nur einer Seite der Ebene, auf die eine ruht der Flächen angeordnet ist. Die Regel gilt für alle Flächen des Polyeders. Diese geometrischen Formen in festen Geometrie Begriff genannt konvexen Polyeder. Ausnahmen sind stellate Polyeder, die von regelmäßigen polygonalen geometrischen Körpern abgeleitet sind.

Polyhedra können unterteilt werden:

1. Arten von konvexen Polyedern, die aus den folgenden Klassen: herkömmliches oder classic (ein Prisma, eine Pyramide, ein Kasten), rechts, halbreguläre (zweiter Name – archimedische Feststoffe) (auch Platonic Feststoffe genannt).
2. Nicht-konvexen Polyedern (stellate).

Prism und seine Eigenschaften

Geometrie als eine Abteilung Geometrie untersucht die Eigenschaften von dreidimensionalen Formen, Arten von Polyeder (Prisma unter ihnen). Prism genannte geometrischen Körper, der zwei identische Flächen erforderlich ist (auch bezeichnet als Basen) in parallelen Ebenen liegt, und die n-te der Seitenflächen in der Form von Parallelogrammen. Im Gegenzug hat das Prisma auch mehrere Sorten, einschließlich solchen Arten von Polyeder, wie zum Beispiel:

1. Parallelepiped – gebildet wird, wenn die Basis ein Parallelogramm ist – ein Vieleck mit Paaren von zwei gegenüberliegenden gleichen Winkeln und zwei Paaren von entgegengesetzten Seiten kongruent.
2. Prisma senkrecht zu den Kanten der Basis.
3. Die geneigte Prisma durch indirekte Winkel (außer 90) zwischen den Flächen und der Basis aus.
4. Proper gekennzeichnet Prisma Basen in Form eines regelmäßigen Vielecks mit gleichen Seitenflächen.

Die wichtigsten Eigenschaften des Prismas:

• Kongruent Basen.
• Alle Kanten des Prismas gleich sind und parallel zueinander verlaufen.
• Alle Seitenflächen haben eine Form eines Parallelogramms.

Pyramide

Pyramide genannt geometrischen Körper, der eine Basis und eine der n-ten der dreieckigen Flächen aufweist, die an einem einzigen Punkt verbinden – oben. Es soll beachtet werden, dass, wenn die Seitenflächen der Pyramide ist durch Dreiecken dargestellt benötigt wird, dann wird die Base, wie ein dreieckiges oder vierseitiges Polygon und pentagonal sein kann, und so weiter ad infinitum. In diesem Fall entspricht der Name der Pyramide zu einem Polygon an der Basis. Zum Beispiel, wenn die Base ein Dreieckspyramide – eine dreieckige Pyramide, Viereck – viereckig, etc …

Pyramiden – es konusopodobnye Polyeder. Arten von Polyeder dieser Gruppe, zusätzlich zu den oben genannten, auch die folgenden Vertreter:

1. Regelmäßige Pyramide hat Grundlage eines regelmäßigen Polygons, in der Basis oder umschriebene herum eingeschrieben , und seine Höhe ist in der Mitte eines Kreises projiziert.
2. Eine rechteckige Pyramide bildet sich, wenn eine der Seitenkanten der Basis in einem rechten Winkel schneiden. In einem solchen Fall wird diese Kante trifft auch pyramidenHöhe genannt.

Pyramid Eigenschaften:

• In dem Fall, wo die ganze Seite kongruenter Pyramiden (die gleiche Höhe) Kanten, sie alle überlappen, mit einer Base bei einem Winkel, und um die Basis einen Kreis mit dem Mittelpunkt zusammenfällt mit der Projektion der Spitze der Pyramide ziehen können.
• Wenn die Basis der Pyramide ein regelmäßiges Vieleck ist, werden alle Seitenkanten deckungsgleich, und die Stirnseiten sind gleichschenklige Dreiecken.

Regelmäßige Polyeder: Typen und Eigenschaften von Polyeder

In stereometrischen einem besonderen Ort den geometrischen Körper mit einem völlig gleich besetzen zueinander Facetten der Scheitelpunkte, die die gleichen Anzahl von Rippen verbunden ist. Diese Körper sind platonische Körper genannt, oder reguläre Polyeder. Arten von Polyeder mit solchen Eigenschaften gibt es nur fünf Zahlen:

1. Tetrahedron.
2. Hexahedron.
3. Oktaeder.
4. Dodekaeder.
5. Ikosaeder.

Sein Name regulären Polyeder sind erforderlich, um antike griechische Philosoph Plato diese geometrischen Körpern in ihrer Arbeit beschrieben und mit den Elementen der Natur zu verbinden: Erde, Wasser, Feuer, Luft. Fünfte Figur ausgezeichnet Ähnlichkeiten mit der Struktur des Universums. Ihm zufolge ähneln Naturkatastrophen Atome, welche Arten von regulären Polyeder. Dank seiner spektakulärsten Merkmal – Symmetrie, diese geometrischen Formen von großen Interesse nicht nur für den alten Mathematiker und Philosophen, sondern auch für Architekten, Maler und Bildhauer aller Zeiten. Die Anwesenheit von nur 5 Spezies mit absoluter Symmetrie Polyeder eine fundamentale Entdeckung betrachtet, sie gewährt auch Verbindung mit dem Göttlichen.

Hexahedron und seine Eigenschaften

In Form von Hexaedern Nachfolgern angenommen Plato Ähnlichkeit mit der Struktur der Erde-Atom. Natürlich, jetzt völlig diese Hypothese widerlegt, die jedoch nicht mit den Zeichnungen und Moderne in den Köpfen von bekannten Persönlichkeiten seiner Ästhetik zu gewinnen nicht stört.

In der Geometrie ein Hexaeder ist er Würfel ein Sonderfall der Box betrachtet, was wiederum eine Art Prisma ist. Dementsprechend wird die Eigenschaften assoziiert mit Würfelprisma-Eigenschaften mit dem einzigen Unterschied, daß alle Kanten und Ecken des Würfels gleich sind. Aus dieser den folgenden Eigenschaften:

1. Alle Kanten eines Würfels sind kongruent und liegen in parallelen Ebenen in Bezug zueinander.
2. Alle Flächen – kongruent Quadrate (des Würfels von 6), kann eine beliebige, die als Basis genommen werden.
3. Alle Winkel sind gleich intergranal 90.
4. Von jedem Scheitelpunkt hat eine gleiche Anzahl von Rippen, nämlich 3.
5. Der Würfel hat neun Symmetrieachsen, die alle an dem Schnittpunkt der Diagonalen des Hexaeders schneiden, als Zentrum der Symmetrie bezeichnet.

Tetraeders

Tetrahedron – ein Tetraeders mit Kanten gleich in Form von Dreiecken, wobei jeder Scheitelpunkt von dem der Verbindungspunkt der drei Kanten.

Die Eigenschaften eines regelmäßigen Tetraeders:

1. Alle Flächen des Tetraeders – ein gleichseitiges Dreieck, was bedeutet , dass alle Flächen eines Tetraeders übereinstimmen.
2. Da die Basis eine regelmäßige geometrische Figur, das heißt, er gleiche Seiten hat, die Flächen des Tetraeders und konvergieren im gleichen Winkel, das heißt alle Winkel gleich sind.
3. Menge planar Winkeln an jedem der Scheitelpunkte ist gleich 180, da alle Winkel gleich sind, jeder Winkel eines regelmäßigen Tetraeders 60.
4. Jeder der Scheitel projizierten Schnittpunkt der Höhen der gegenüberliegenden (Höhenschnittpunkt) -Fläche.

Oktaeder und seine Eigenschaften

Beschreiben Arten von regulären Polyeder, sollte es das Objekt als ein Oktaeder festgestellt werden, die visuell als zwei geklebten Vierecks Basen regelmäßiger Pyramiden dargestellt werden kann.

Die Eigenschaften des Oktaeder:

1. Der Name des geometrischen Körpers erzählt die Anzahl seiner Seiten. Oktaeder aus 8 kongruenter gleichseitiger Dreiecke, von denen jeder auf die Anzahl von Vertices konvergenten Flächen gleich ist, nämlich 4.
2. Da alle Flächen des Oktaeders gleich sind und ihre Ecken intergranal, von denen jeder 60 ist, und die Summe von planar Winkel jeder der Ecken ist somit 240.

Dodekaeder

Wenn wir uns vorstellen , dass alle Flächen des geometrischen Körpers ist ein regelmäßiges Fünfeck, erhalten Sie einen Dodekaeder – eine Zahl von 12 Polygonen.

Eigenschaften Dodekaeder:

1. An jedem Scheitelpunkt schneiden sich entlang drei Seiten.
2. Alle Flächen sind gleich und haben die gleiche Länge von Rippen und gleiche Fläche.
3. An der Dodekaeder 15 Achsen und Symmetrieebenen, wobei jede von ihnen durch die Mitte der oberen Fläche verläuft und eine gegenüberliegende Kante.

Ikosaeder

Ebenso interessant ist als Dodekaeder, Ikosaeder stellt Abbildung der dreidimensionalen geometrischen Körper 20 mit gleichen Seiten. Zu den Eigenschaften sind recht Ikosaeder wie folgt vor:

1. Alle Flächen des Ikosaeder – gleichschenklige Dreiecke.
2. An jeder Ecke des Polyeders konvergieren fünf Flächen, und die Summe von benachbarten Winkeln von 300 Spitzen.
3. Ikosaeder ist gleich wie und Dodekaeder, 15 Achsen und Symmetrieebene durch die Mittelpunkte der gegenüberliegenden Seiten verlaufen.

semiregular Polygone

Weiterhin platonic Feststoffe, Polyeder konvexe Gruppe umfasst auch archimedischen Feststoffe, die Polyeder abgestumpften regelmäßig sind. Arten von Polyeder in dieser Gruppe haben die folgenden Eigenschaften:

1. Geometrische Körper sind paarweise gleiche Flächen von mehreren Arten, beispielsweise abgestumpfter Tetraeders ist die gleiche wie ein regulärer Tetraeders, 8 Gesichter, aber in dem Gehäusekörper 4 archimedische Gesichter sind dreieckförmige und 4 – hexagonal.
2. Alle Winkel sind kongruent zu einem Eckpunkt.

stellate Polyeder

Vertreter Arten neobomnyh geometrische Körper – stellate Polyeder, die Gesichter, die einander kreuzen. Sie können durch eine Fusion von zwei regelmäßigen dreidimensionalen Körpern oder als Folge der Fortsetzung ihrer Flächen gebildet werden.

Somit können solche bekannten stellate Polyeder als: stellate Form eines Oktaeders, Dodekaeder, Ikosaeder, kuboktaedrischen, icosidodecahedron.