Pendulum: Periode und die Beschleunigung der Formel

Das mechanische System, das aus einem Material Punkt besteht (der Körper), das auf einer schwerelos undehnbaren Faden hängt (dessen Masse vernachlässigbar ist im Vergleich zu dem Gewicht des Körpers) in einem gleichförmigen Gravitationsfeld, genannt die mathematischen Pendels (ein anderer Name – der Oszillator). Es gibt andere Arten von Geräten. Statt eines Filaments schwerelos Stange verwendet werden. Pendel eindeutig das Wesen der viele interessante Phänomene offenbaren. Wenn kleine Amplitude Schwingungen seiner Bewegung wird Harmonischen bezeichnet.

Allgemeine Informationen über das mechanische System

Die Formel der Schwingungsperiode des Pendels wurde niederländischen Wissenschaftler Huygens (1629-1695 gg.) Gezüchtet. Diese moderne von Isaac Newton war sehr angetan von dem mechanischen System. Im Jahr 1656 schaffte er die erste Uhr mit einem Pendelmechanismus. Sie maßen die Zeit mit höchster Präzision für die damalige Zeit. Diese Erfindung war ein wichtiger Schritt in der Entwicklung von physikalischen Experimenten und praktischen Tätigkeiten.

Wenn das Pendel in einer Gleichgewichtsposition (hängend vertikal) ist, die Schwerkraft wird durch die Fadenspannkraft ausgeglichen werden. Flach Pendel auf einem nicht dehnbaren Garnen ist ein System mit zwei Freiheitsgraden der Kommunikation. Bei einem Wechsel nur eine Komponente, die Eigenschaften aller seiner Teile zu ändern. Zum Beispiel, wenn ein Faden durch eine Stange ersetzt wird, dann ist dieses mechanische System nur 1 Freiheitsgrad. Was ist dann? Die Eigenschaften eines mathematischen Pendels In diesem einfachen System, unter dem Einfluss einer periodischen Störung, scheint das Chaos. In diesem Fall wird, wenn der Aufhängungspunkt nicht bewegt wird, und ein Pendel oszilliert gibt es eine neue Gleichgewichtslage. Wenn schnelle Schwankungen nach oben und unten diesem mechanischen System werden stabil Position „auf dem Kopf.“ Es hat auch seinen Namen. Es ist das Kapitza Pendel genannt.

Die Eigenschaften des Pendels

Pendulum hat sehr interessante Eigenschaften. Alle von ihnen sind von bekannten physikalischen Gesetzen unterstützt. Die Periode der Schwingung des Pendels andere hängt von verschiedenen Umständen, wie beispielsweise die Größe und Form des Körpers, der Abstand zwischen dem Punkt der Aufhängung und dem Schwerpunkt, der Gewichtsverteilung in Bezug auf diesen Punkt. Deshalb ist die Definition des Körpers hängen Zeit eine ziemliche Herausforderung ist. Ist viel einfacher, die Periode eines einfachen Pendels zu berechnen, die Formel der nachstehend wiedergegeben ist. Als Ergebnis dieser Muster zu beobachten kann auf ähnliche mechanische Systeme eingestellt werden:

• Wenn bei gleicher Länge des Pendels aufrechterhalten wird, aus einer Vielzahl von Belastungen ausgesetzt, die Periode der Schwingung des gleiches bekommen, obwohl ihr Gewicht stark variieren. Folglich stellt die Periode des Pendels nicht auf dem Gewicht der Last abhängig.

• Wenn das System in dem Pendel zu sinken beginnt, ist nicht zu groß, aber unterschiedliche Winkel, wird es mit dem gleichen Zeitraum schwanken, aber mit unterschiedlichen Amplituden. Während Abweichungen von der Mitte der Waage nicht zu große Schwankungen in ihrer Form sind, werden nahe genug harmonisch. Die Dauer eines solchen Pendels hängt nicht von der Schwingungsamplitude. Diese Eigenschaft des mechanischen Systems ist Isochronismus (griechisch „Chronos“ – time „Izosov“ – gleich) genannt.

Die Periode eines einfachen Pendels

Diese Zahl stellt die natürliche Schwingungsperiode. Trotz der komplexen Formulierung, der Prozess selbst ist sehr einfach. Wenn die Länge des Garns mathematischen Pendels L und der Erdbeschleunigung g, dieser Wert ist gleich:

T = 2π√L / g

Kleiner Zeitraum von Eigenschwingungen in keine Weise hängt nicht von der Masse des Pendels und der Schwingungsamplitude. In diesem Fall, wie ein mathematisches Pendel bewegt sich mit reduzierter Länge.

Schwingungen eines mathematischen Pendels

Mathematisches Pendel schwingt, die durch eine einfache Differentialgleichung beschrieben werden kann:

x + ω2 sin x = 0,

wobei x (t) – unbekannte Funktion (dieser Ablenkungswinkel von der unteren Gleichgewichtsposition zu der Zeit t, ausgedrückt in Radianten); ω – eine positive Konstante ist, die von den Parametern des Pendels (ω = √g / L, wobei G bestimmt wird, – die Erdbeschleunigung, und L – die Länge eines einfachen Pendels (Suspension).

Gleichung kleine Schwingungen nahe Gleichgewichtsposition (harmonische Gleichung) wie folgt:

x + ω2 sin x = 0

Oszillierende Bewegung des Pendels

Pendel, die kleinen Schwingungen macht, Sinuskurve bewegen. Differentialgleichung zweiter Ordnung erfüllt alle Anforderungen und Parameter einer solchen Bewegung. Um zu bestimmen, den Pfad Sie die Geschwindigkeit und die Koordinaten festlegen müssen, die später unabhängige Konstanten bestimmt:

x = A sin (θ ₀ + & ohgr; t),

wobei θ ₀ – Anfangsphase A – Schwingungsamplitude, ω – zyklische Frequenz aus den Bewegungsgleichungen bestimmt.

Pendulum (Formel für große Amplituden)

Dieses mechanische System, führt ihre Schwingungen mit einer großen Amplitude, ist es zu komplexeren Verkehrsgesetzen. Sie werden nach der folgenden Formel berechnet für einen solchen Pendels:

sin x / 2 = u * sn (& omega; t / u),

wo sn – Sinus Jacobi, der u <1 ist eine periodische Funktion, und für kleine u zusammenfällt mit dem einfachen trigonometrischen Sinus. Der Wert von u wird durch den folgenden Ausdruck bestimmt:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

wobei ε = E / mL2 (mL2 – Energie des Pendels).

Die Bestimmung der nichtlinearen Schwingungsperiode des Pendels durch die folgende Formel:

T = 2π / Ω,

wobei Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K – elliptisches Integral, π – 3,14.

die Pendelbewegung des separatrix

Es forderte separatrix Trajektorie des dynamischen Systems, bei dem einem zweidimensionalen Phasenraumes. Pendel bewegt sich auf einem nicht-periodisch. In dem unendlich weit Zeitpunkt fällt sie von der extremen oberen Stellung in Richtung auf eine Geschwindigkeit von Null, und dann wird es allmählich zu gewinnen. Er stoppte schließlich, in seine ursprüngliche Position zurückkehrt.

Wenn die Amplitude der Schwingung des Pendels , die Anzahl pi annähert, wird gesagt , dass die Bewegung in der Phasenebene auf die separatrix nahe ist. In diesem Fall zeigt unter der Wirkung einer kleinen periodischen Antriebskraft des mechanischen Systems chaotisches Verhalten.

Im Fall eines einfachen Pendels aus der Gleichgewichtsposition mit einem Winkel cp auftritt Tangentialkraft Fτ -Mg = sin φ Schwerkraft. „Minus“ -Zeichen bedeutet, dass die tangentiale Komponente in der entgegengesetzten Richtung von der Richtung der Abweichung des Pendels gerichtet. Wenn über Pendelauslenkungsdetektor Bezugnahme x entlang eines Kreisbogens mit einem Radius L ist gleich seiner Winkelverschiebung φ = x / L Das zweite Gesetz Isaaka Nyutona, ausgelegt für die Projektion des Beschleunigungsvektors und Stärke des gewünschten Wert zu geben:

mg τ = Fτ = -Mg sin x / L

Basierend auf diesem Verhältnis ist es klar, dass das Pendel ein nicht-lineares System ist, als eine Kraft, das zu ihrer Gleichgewichtsposition zurückzukehren neigt, wird auf die Verschiebung x nicht immer proportional, ein sin x / L.

Erst wenn das mathematische Pendel kleine Schwingungen ausführt, ist es ein harmonischer Oszillator. Mit anderen Worten, es wird ein mechanisches System ausführen kann harmonische Schwingungen. Diese Näherung gilt für fast Winkel 15-20 °. Pendel mit großen Amplituden sind nicht harmonisch.

Newtons Gesetz für kleine Schwingungen eines Pendels

Wenn das mechanische System kleine Schwingungen ausführt, wird der 2. Newtons Gesetz wie folgt aussehen:

mg τ = Fτ = -m * g / L * x.

Auf dieser Grundlage können wir, dass die tangentiale Beschleunigung eines einfachen Pendels abschließen zu seiner Verschiebung mit dem Vorzeichen „minus“ proportional ist. Dies ist ein Zustand, bei dem das System einen harmonischen Oszillator wird. Modul Proportionalitätsfaktor zwischen der Verschiebung und die Beschleunigung ist gleich dem Quadrat der Winkelfrequenz:

ω02 = g / l; ω0 = √ g / L.

Diese Formel spiegelt die Eigenfrequenz der kleinen Schwingungen dieser Art von Pendel. Auf dieser Grundlage

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Die Berechnungen basieren auf dem Gesetz der Erhaltung der Energie

Eigenschaften Pendelbewegungen oszillieren können mit Hilfe des Gesetzes der Erhaltung der Energie beschrieben. Es ist daran zu erinnern, dass die potentielle Energie des Pendels in einem Gravitationsfeld ist:

E = mgΔh mgL = (1 – cos α) = mgL2sin2 α / 2

Volle mechanische Energie ist gleich das kinetische und maximales Potenzial: Epmax = Ekmsx = E

Nachdem Sie das Gesetz der Erhaltung der Energie haben geschrieben, die Ableitung der linken und rechten Seite der Gleichung nehmen:

Ep + Ek = konst

Da die Ableitung der Konstante gleich 0 ist, dann ist (Ep + Ek) ‚= 0. Die Ableitung der Summe gleich der Summe der Derivate:

Ep '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2L * 2 x * x '= mg / L * V + Ek' = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) ‚= m / 2 * 2V * v ‚= mv * α,

daher:

Mg / L * xv + MVA = v (mg / L * x + α m) = 0 ist.

Basierend auf den letzten Formel, finden wir: α = – g / L * x.

Praktische Anwendung des mathematischen Pendels

Beschleunigung des freien Falls variiert je nach Breitengrad, da die Dichte der Kruste um den Planeten nicht identisch. Wo Felsen mit einer höheren Dichte auftreten, wird es etwas höher sein. Beschleunigung des mathematischen Pendels wird häufig für die Exploration verwendet. In seiner Hilfe sucht für verschiedene Mineralien. Einfach die Anzahl der Schwingungen eines Pendels zu zählen, ist es möglich, die Kohle oder Erz in den Eingeweiden der Erde zu erkennen. Dies ist aufgrund der Tatsache, dass diese Mittel eine Dichte und Gewicht von mehr als unter den losen Felsen liegen.

Mathematische Pendel durch so prominente Gelehrte wie Sokrates verwendet, Aristoteles, Plato, Plutarch, Archimedes. Viele von ihnen glaubten, dass das mechanische System, das Schicksal und das Leben beeinflussen kann. Archimedes verwendet, um das mathematische Pendel mit seinen Berechnungen. Heutzutage verwenden viele Okkultisten und Hells dieses mechanische System für die Umsetzung seiner Prophezeiungen, oder die Suche nach vermissten Personen.

Der berühmte Französisch Astronom und Wissenschaftler, Flammarion für ihre Forschung auch ein mathematisches Pendel. Er behauptete, dass mit seiner Hilfe kann sich die Entdeckung eines neuen Planeten vorherzuzusagen, die Entstehung der Tunguska-Meteoriten und andere wichtige Ereignisse. Während des Zweiten Weltkrieges in Deutschland (Berlin) arbeitete als Spezialinstitut des Pendels. Heutzutage ist diese Forschung nicht verfügbar München Institut für Parapsychologie. Seine Arbeit mit dem Pendel des Personal dieser Institution namens „radiesteziey“.