Was ist eine Fließkommazahl?

Die Darstellung der realen (oder realen) Zahlen, wo sie als Mantisse und Exponent gespeichert sind, werden Gleitkommazahlen (vielleicht Punkt, wie in den englischsprachigen Ländern üblich ist). Trotzdem ist die Zahl mit einer festen relativen Genauigkeit zur Verfügung gestellt und absoluten verändern. Darstellung, die am häufigsten verwendet wird, anerkannten Norm IEEE 754. Mathematische Operationen, die Gleitkommazahlen verwenden Systeme bei der Berechnung implementiert werden – sowohl Hardware als auch Software.

Punkt oder Komma

Die detaillierte Liste der Dezimaltrennzeichen identifiziert diejenigen englischsprachigen Ländern und anglofitsirovannye, wo die Aufzeichnungen von Zahlen durch einen Bruchteil des gesamten Punkt getrennt, weil die Terminologie dieser Länder den Namen Punkt angenommen Floating – „Floating Point“. In der Russischen Föderation, der Bruchteil der gesamten Tradition, durch ein Komma getrennt, so stellt es das gleiche Konzept historisch hat den Begriff erkannt „floating point“. Doch heute in der technischen Dokumentation und in der russischen Literatur ist es, beiden Optionen erlaubt.

Der Begriff „floating point“ stammte von der Tatsache, dass eine Positionszahl-Darstellung ein Komma (normal dezimal oder binär – ein Computer) ist das in dem zwischen den Linien Nummern passen. Diese Funktion ist sicher, dass es separat festzulegen. Dies bedeutet, dass die Darstellung von Gleitkommazahlen kann als Computer Implementierung Exponentialnotation angesehen werden. Der Vorteil der Verwendung eines solchen Darstellung eines Darstellungsformat Festkomma und ganze Zahlen, die der Wertebereich wächst signifikant, wenn die relative Genauigkeit unverändert bleibt.

Beispiel

Wenn das Komma in der Anzahl von festen, dann brennt sie ist nur ein Format. Zum Beispiel, ein bisschen von einem sechs an der Zahl und zwei Ziffern im Bruchteil gegeben. Dies kann nur auf diese Weise geschehen: 123.456,78. Das Format von Gleitkommazahlen in vollem Umfang für den Ausdruck zu geben. Zum Beispiel die gleichen acht Ziffern angegeben. Aufnahmeoptionen sein jeder können, wenn der Programmierer nicht ein zweistelliger knausern zusätzlichen Felddienst macht, wo es die Exponenten aufzuzeichnen, die typischerweise 10 sind, und von 0 bis 16, und entlädt, während die Gesamtzahl zehn sein wird 8 + 2.

Einige Ausführungsformen der Aufnahme, die Sie Zahlen mit Gleitkomma-Format erlaubt: 12345678000000000000; ,0000012345678; 123,45678; 1.2345678 und so weiter. In diesem Format gibt es sogar eine Maßeinheit der Geschwindigkeit! Vielmehr ist die Leistung eines Computersystems, das die Geschwindigkeit aufzeichnet, an dem der Computer Operationen ausführt, wo es Darstellung von Gleitkommazahlen. Diese Leistung wird in Form von FLOPS (Gleitkommaoperationen pro Sekunde, die mit einem Gleitkomma- der Anzahl von Transaktionen pro Sekunde übersetzt) gemessen. Dies ist die Grundeinheit in der Messrechner Systemgeschwindigkeit.

Struktur

Datensatznummer in dem Gleitkommaformat notwendig, wie folgt, die Reihenfolge der obligatorischen Teile beobachtet, weil dieser Datensatz exponentiell ist, die die reellen Zahlen als Mantisse und Reihenfolge zeigt. Es ist notwendig, zu groß und zu kleinen Zahlen darzustellen, sie sind viel leichter zu lesen. Erforderliche Teile: die aufgezeichnete Anzahl (N), die Mantisse (M), ist die Reihenfolge des Schildes (P) und die Ordnung (n). Die letzten beiden Merkmale des Zeichens. Daher N = ^M. n ^p. Gleitkommazahlen so geschrieben. Beispiele variiert werden.

1. Es ist notwendig, die Anzahl von einer Million, aufzuzeichnen, um nicht in den Nullen verloren zu gehen. 1000000 – es ist eine normale Aufnahme, Arithmetik. Ein Computer ist wie folgt: ^1,0. 10 ^6. Das heißt, zehn zur sechsten Potenz – drei Zeichen, die so viele wie sechs Nullen passen. Somit tritt Darstellung von Zahlen von fest und Gleitpunkt, bei der unmittelbar in der Rechtschreibung Unterschiede erkennen kann.

2. Und so eine harte Nummer 1435000000 (eine Milliarde 435.000) kann auch einfach geschrieben werden: ^{1435. 10.} September nur. So ist es mit einem Minuszeichen kann eine beliebige Zahl schreiben. Das ist es, und unterscheiden sich voneinander durch die Anzahl der festen und Gleitpunkt.

Aber es ist mehr, wie gering zu sein? Ja, zu leicht.

3. Zum Beispiel, als ein Millionmarke? = 0.000001 ^1,0. 10 ^-6. Erheblich erleichtert und Schreiben von Zahlen, und es zu lesen.

4. Ein komplizierter? Fünfhundert und sechsundvierzigsten Milliardstel: 0,000000546 = ^546. 10 ^-9. Hier. Der Bereich des Floating-Point ist sehr breit.

Form

Formularnummer kann normal oder normalisiert werden. Normal – immer respektiert die Genauigkeit von Gleitkommazahlen. Es sollte beachtet werden, dass die Mantisse in dieser Form ohne Berücksichtigung des Vorzeichens, die Hälfte des Intervalls 0 1, dann 0 ⩽ a <1. Nicht in die normale Form der Zahl ihrer Genauigkeit verliert. Der Nachteil der Normalform ist, dass viele Zahlen können auf verschiedene Weise geschrieben werden, das ist nicht eindeutig. Beispiel verschiedene Datensätze aus der gleichen Anzahl: 0 = 0,0001, ^{000001. 10. Februar} = ^{0,00001. 10. Januar} = ^0,0001. 10 ⁰ = ^0,001. 10 ^-1 = ^0,01. 10 ^-2, und so kann viel mehr sein. Deshalb ist der Computer eine andere normierte Schreibweise verwendet, wobei die Mantisse Dezimalstelle um den Wert der Anteile (einschließlich) annimmt und somit zu zehn (nicht enthalten), und in gleicher Weise der Mantisse Binärzahl einen Wert zwischen einem (einschließlich) bis zwei (nicht inklusive).

So, 1 ⩽ a <10 Dieses -. Binärzahlen mit Floating – Point, und diese Form von einer beliebigen Anzahl Aufnahme ( mit Ausnahme Null) fängt eine einzigartige Art und Weise. Aber auch gibt es einen Nachteil – die Unfähigkeit, diese Art von Null vorzustellen. Daher Informatik sieht die Verwendung von Sondernummern 0 Zeichen (Bit). Der ganzzahlige Teil von (MSB) des Mantisse in der binären Zahl mit Ausnahme von Null in einer normalisierten Form gleich 1 ist (implizite Einheit). Dieser Datensatz wird Standard IEEE 754. Das Positionsnummer-System verwendet, wobei die Basis mehr als zwei (ternäre, quaternäre und andere Systeme), wird diese Eigenschaft nicht gekauft.

Reale

Reelle Zahlen mit Fließkomma und sind in der Regel ebenso wie es nicht der einzige, aber ein sehr bequemer Weg, um eine reelle Zahl darstellen, wie es war, ein Kompromiss zwischen dem Wertebereich und Genauigkeit. Dies ist analog zu Exponentialnotation, nur durchgeführt, auf dem Computer. Gleitkommazahl – eine Reihe von einzelnen Bits in einem Zeichen (Zeichen) unterteilt ist , um (Exponent) und die Mantisse (mantis). Das gebräuchlichste Format ist ein IEEE-754-Gleitkommazahl als einen Satz von Bits, die einen Teil seiner Mantisse, andererseits codieren – der Grad und das eine Bit zeigt das Vorzeichen der Zahl: Null – wenn es positiv ist, wobei die Einheit – wenn die Zahl negativ ist. Das gesamte Verfahren wird durch eine Reihe (Code-Verschiebung), und der Mantisse aufgezeichnet – in einer normalisierten Form, seinen Bruchteil – im Binärsystem.

Jedes Zeichen – ist ein einzelnes Bit, das das Zeichen für alle Gleitkommazahlen anzeigt. Mantissa und Ordnung – ganze Zahlen sind, sie zusammen mit dem Zeichen und machen die Darstellung von Gleitkommazahlen. Das Verfahren kann eine exponentielle oder Exponenten bezeichnet. Nicht alle reellen Zahlen können in einem Computer in ihrer genauen Bedeutung dargestellt werden, die andere sind Näherungswert dargestellt. Eine wesentlich einfachere Option – eine reelle Zahl mit einem festen Punkt zu unterbreiten, wo das Reale und das ganze Teil getrennt gehalten werden. Höchstwahrscheinlich, so daß der ganzzahlige Teil wird immer X Bits zugeteilt, und ein Bruch – Y Bits. Aber die Architektur der Prozessoren sind nicht bekannt, ein solches Verfahren, sondern weil bevorzugt die Anzahl der Gleitkomma gegeben ist.

Zusatz

Die Zugabe von Gleitkommazahlen ist ganz einfach. In Verbindung mit der Standard IEEE 754 mit einfacher Genauigkeit Zahl hat es eine große Anzahl von Bits, so ist es besser, auf die Beispiele zu bewegen, mit einer besseren Idee, den kleinsten Gleitkommazahl zu nehmen. Zum Beispiel sind die beiden Zahlen – X und Y.

Die Schritte sind wie folgt:

a) Die Nummern müssen in normierter Form dargestellt werden. Es ist eindeutig eine versteckte ein. X = ^1.110. 2 ² und Y = ^1,000. 2 ^0.

b) Fortsetzung des Prozesses der Zusammensetzung kann nur die Aussteller ausgleichen, aber es muss den Wert von Y. neu zu schreiben, auf den Wert der normierten Zahlen entsprechen wird, obwohl in der Tat – unnormalizes.

Berechnen Sie die Differenz zwischen den Exponenten des Grades 2-0 = 2. Nun die Mantisse bewegen, um diese Veränderungen zu kompensieren, das heißt, fügen Sie 2 auf den Index des zweiten Gliedes, wodurch ein Komma verborgene Einheiten an zwei Stellen nach links bewegen. 0,0100 ^{erhalten. 2. Februar.} Dies wird das Äquivalent des vorherigen Wertes sein, Y, dann gibt es bereits ein Y‘.

c) Nun müssen Sie die Anzahl der Mantisse X und Y. aufzuaddieren angepasst

1,110 + 0,01 = 10,0

Aussteller nach wie vor durch den X-Parameter repräsentiert, der gleich 2 ist.

g) Die Menge in der vorherigen Stufe empfangen wird, verschoben, um die Normierungseinheit, dann müssen Sie die Exponentensumme und wiederholen verschieben. 10.0 mit zwei Bits auf der linken Seite des Dezimalpunktes, die Anzahl nun notwendig, das heißt zu normalisieren, das Komma nach links , um einen Punkt zu bewegen, und Exponent umfasst, erhöht um 1. Es stellt sich heraus ^{1000. 2. März.}

e) Es ist Zeit, eine Gleitkommazahl in Einbyte-System umzuwandeln.

Abschluss

Wie Sie sehen können, fügen Sie diese Zahlen sind nicht zu hart, etwas, das Komma schwimmt. Es sei denn natürlich, mit Ausnahme der Anzahl der unteren Exponent unter mehr bringen (im obigen Beispiel war es die Y zu X), sowie die Wiederherstellung des Status quo, dh die Frage der Entschädigung – der Dezimalpunkt auf der linken Seite der Mantisse bewegen. Wenn der Zusatz bereits angewendet worden ist, ist es sehr gut möglich, und nach wie vor ein Problem – perenormirovanie und Kürzungsbit wenn ihre Zahl es nicht die Zahl übereinstimmen darzustellen.

Multiplikation

Binary System bietet zwei Methoden, mit denen die Fließkommazahl multipliziert. Diese Aufgabe kann durch Multiplikation durchgeführt werden, die mit den am wenigsten signifikanten Bits beginnen und das beginnt mit dem höherwertigen Bits im Multiplikator. Beide Fälle enthalten eine Reihe von Vorgängen sequenziell Partialprodukt zu stapeln. Diese Operationen werden durch die Zugabe von Multiplikator-Bits gesteuert. Also, wenn eines der Bits des Multiplikators eine Einheit ist, wächst die Summe der Teilprodukte des Multiplikanden mit einer entsprechenden Verschiebung. Wenn eine Ziffer des Multiplikators Null gekrochen, während der Multiplikand wird nicht hinzugefügt.

Wenn Multiplikation nur zwei Zahlen durchgeführt wird, kann das Produkt der Zahlen in ihrer Höhe nicht die Anzahl der Stellen in den Faktoren enthalten überschreiten, mehr als doppelt so hoch, und für eine große Zahl es ist sehr, sehr viel. Wenn durch eine Zahl multipliziert wird, riskiert das Produkt nicht auf den Bildschirm passen. Da die Anzahl der Bits jeder digitalen Maschine ist sehr begrenzt, und es zwingt maximal die doppelte Anzahl von Addierern Ziffern zu beschränken. Und wenn die Zahl der Plätze begrenzt ist, wird in dem Produkt zwangsläufig zu Fehlern führt. Wenn die Menge der Berechnung groß ist, wird der Fehler der Überlappung, und als Ergebnis erhöht die Gesamtgenauigkeit. Hier ist der einzige Weg – das Multiplikationsergebnis abzurunden, wird die Fehler Werke abwechselnd wurden. Wenn eine Multiplikationsoperation wird es möglich, über das Netz von Stellen zu gehen, sondern nur durch die jüngere, weil es eine Grenze für die Anzahl davon dargestellt werden in Form von Festkomma auferlegt ist.

einige Erklärungen

Besser von Anfang an zu beginnen. Zeilennummern als eine ganze Zahl, wobei das Komma in dem ganz am Ende angedeutet ist – der häufigste Weg, um die Zahl zu repräsentieren. Diese Zeichenfolge kann beliebig lang sein, sondern ein Komma an der richtigen Stelle steht es zu setzen, die ganze Zahl aus dem fraktionalen Teil von ihr zu trennen. Das Format der Präsentation des Festpunktsystem setzt notwendigerweise bestimmte Bedingungen an die Stelle des Dezimalpunktes. Wissenschaftliche Notation verwendet eine Standard-normalisierte Ansicht der Darstellung von Zahlen. Es AQN { display aq ^ {n }} aq n. Hier ist ein { display ^a} a, und es wird die Mantisse Spitze genannt. So gut wie es ist, dass 0 ⩽ a <q gesagt worden. Ferner sollten alle bereits ^{klar sein: n {/ displaymath n} n} – eine ganze Zahl Exponent und ^q {/ displaymath q} q – auch eine ganze Zahl, die die Grundlage des radix ist (ein Buchstabe ist oft 10). Mantissa ein Komma nach der ersten Stelle verlassen, die nicht Null ist, aber eine weitere Aufnahme ist, an die Informationen über den momentanen Wert der Zahl übertragen.

Gleitkommazahl geschrieben sehr ähnlich allen klar Standardeintrag Zahlen, nur der Exponent und Mantisse werden separat erfasst. Zuletzt mit dem gleichen und in einem normierten Format – Festpunkt, der mit der ersten signifikanten Ziffer dekoriert ist. Gerade Punkt schwimmt, in erster Linie in dem Computer verwendet, dass heißt, in der elektronischen Darstellung in dem das System nicht dezimalen und binären, wo Mantisse sogar Rearranged Punkt Denormalisieren – jetzt ist es vor der ersten Stelle, so vor, nicht danach, wo der ganzzahlige Teil im Prinzip kann es nicht sein. Zum Beispiel würde unser eigenes Dezimalsystem sein neun binäres System für die temporären Einsatz geben. Und das wird aufgezeichnet und seine Mantisse Gleitkommazahlen wie folgt aus: +1001000 … 0, und es und der Index 0 … 0100. Aber das Dezimalsystem nicht ausreicht, um komplexe Berechnungen zu erzeugen, die in binären sein können, die Form von Gleitkomma verwenden.

lange arithmetische

In elektronischen Computer verfügen über integrierte Software-Pakete, in denen für die Mantisse und Exponenten der Größe des Speichers angegeben Software zugewiesen, begrenzt nur durch die Speichergröße des Computers. Es sieht aus wie eine lange Arithmetik, die, einfache Operationen auf Zahlen, den Computer ausführt. Es ist alles die gleiche – Subtraktion und Addition, Division und Multiplikation, elementare Funktionen und den Aufbau der Wurzel. Aber die Zahl der sehr unterschiedlich, deren Kapazität deutlich größer ist als die Länge des Maschinenwort. Die Durchführung dieser Maßnahmen ist nicht von Hard- und Software, aber es ist am meisten benutzt grundlegende Hardware mit vielen kleineren Anzahl von Aufträgen zu arbeiten. Es gibt mehr und Arithmetik, wo Zahlen Länge nur durch die Speicherkapazität begrenzt – mit beliebiger Genauigkeit Arithmetik. Eine lange Arithmetik wird in vielen Bereichen eingesetzt.

1. Um den Code (Prozessoren, Mikrocontroller mit geringen Bittiefe zu kompilieren – 10-Bit-Registern und Acht-Bit Wortlänge, ist es nicht genug, um die Informationen aus der Analog-zu-Digital (Analog-Digital-Wandler) und daher ohne einen lange arithmetischen tun kann, nicht zu behandeln.

2. Es wird auch eine lange Arithmetik für Kryptographie verwendet, wo es notwendig ist , die Genauigkeit des Ergebnisses der Potenzierung oder Multiplikation zu ^10.309 zu ^{gewährleisten.} Integer-Arithmetik Modulo m verwendet – eine große natürliche Zahl, und ist nicht unbedingt einfach.

3. Software für Finanziers und Mathematiker, ist auch nicht ohne eine lange Arithmetik, weil der einzige Weg, um die Ergebnisse der Berechnungen auf dem Papier zu überprüfen – mit Hilfe des Computers, hohe Genauigkeit der Zahlen zu gewährleisten. Floating-Point können sie eine beliebige Anzahl von langen Entladung beinhalten. Aber die technischen Berechnungen und die Arbeit von Wissenschaftlern benötigen Interventionsprogramm Berechnungen sehr oft, weil es sehr schwierig ist, die Eingangsdaten zu machen, ohne Fehler zu machen. sie sind in der Regel viel voluminöser als Rundung ergibt.

Kampf mit Fehlern

Wenn eine Anzahl von Operationen, bei denen die Floating-Point, ist es sehr schwierig ist, die Genauigkeit der Ergebnisse zu beurteilen. Noch nicht erfunden all mathematische Theorie erfüllen, die dieses Problem lösen helfen würden. Aber der Fehler integer leicht bewerten. Die Möglichkeit, sich auf der Oberfläche von Ungenauigkeiten zu befreien – nur nur die Anzahl der Festnetz-Nummer verwenden. So baute ein Finanzprogramm auf diesem Prinzip. Allerdings gibt es einfacher: die erforderliche Anzahl von Stellen nach dem Komma im Voraus bekannt ist.

Andere Anwendungen sind nicht darauf beschränkt, da Sie nicht mit entweder sehr kleinen oder sehr großen Zahlen arbeiten können. Also, wenn Sie arbeiten berücksichtigt immer, dass es Ungenauigkeiten sein können, und weil die Ableitung der Ergebnisse ist es rund notwendig. Darüber hinaus ist die automatische Abrundung oft ein Mangel an Wirkung, und daher speziell definiert ist gerundet wird. Sehr gefährlich in dieser Hinsicht der Vergleichsoperation. Es gibt sogar die Höhe der künftigen Fehler abzuschätzen, ist extrem schwierig.