Arithmetische Progression

Probleme der arithmetischen Progression bestanden bereits in alten Zeiten. Sie erschienen und verlangten Lösungen, weil sie ein praktisches Bedürfnis hatten.

So enthält der Rhindus Papyrus (XIX Jahrhundert v. Chr.) In einer der Papyri des alten Ägypten, die einen mathematischen Inhalt hat, eine solche Aufgabe: zehn Zentimeter Brot für zehn Personen, da der Unterschied zwischen jedem von ihnen eine achte Maßnahme ist. "

Und in mathematischen Werken der alten Griechen gibt es elegante Theoreme im Zusammenhang mit der arithmetischen Progression. So formulierte die Gipsicle von Alexandria (II Jahrhundert v . Chr.), Die viele interessante Probleme zusammenstellte und das vierzehnte Buch den Euklidschen Prinzipien zuschrieb, die Idee: "In einer arithmetischen Progression mit einer geraden Anzahl von Begriffen ist die Summe der Mitglieder der zweiten Hälfte größer als die Summe der Terme der 1- Durch eine Zahl, die ein Vielfaches des Quadrats von 1/2 der Anzahl der Begriffe ist. "

Wir nehmen eine beliebige Reihe von positiven ganzen Zahlen (größer als null): 1, 4, 7, … n-1, n, …, die eine numerische Folge genannt wird.

Die Sequenz an. Die Zahlen einer Sequenz werden ihre Mitglieder genannt und werden in der Regel mit Buchstaben mit Indizes bezeichnet, die die Seriennummer dieses Mitglieds angeben (a1, a2, a3 … lesen: "a 1st", "a 2nd", "a 3-y" und so weiter ).

Die Sequenz kann unendlich oder endlich sein.

Und was ist eine arithmetische Progression? Es wird als die Folge von Zahlen verstanden, die durch Addition des vorhergehenden Terms (n) mit der gleichen Zahl d erhalten wird, was die Differenz der Progression ist.

Wenn d 0, dann wird eine solche Progression als zunehmend betrachtet.

Eine arithmetische Progression heißt endlich, wenn nur wenige ihrer ersten Begriffe berücksichtigt werden. Mit einer sehr großen Anzahl von Mitgliedern ist dies ein unendlicher Fortschritt.

Jede arithmetische Progression ist durch die folgende Formel gegeben:

An = kn + b, wobei b und k einige Zahlen sind.

Die Aussage, die umgekehrt ist, ist absolut wahr: Wenn eine Sequenz durch eine ähnliche Formel gegeben wird, dann ist dies genau eine arithmetische Progression, die die Eigenschaften hat:

1. Jedes Mitglied der Progression ist das arithmetische Mittel des vorherigen Begriffs und des darauffolgenden.
2. Umgekehrt, wenn, beginnend mit dem 2., jeder Begriff das arithmetische Mittel des vorherigen Termes und des nächsten, d.h. Wenn die Bedingung erfüllt ist, dann ist diese Sequenz eine arithmetische Progression. Diese Gleichheit ist auch ein Zeichen der Progression, daher heißt sie in der Regel die charakteristische Eigenschaft der Progression.
   Ähnlich ist ein Satz, der diese Eigenschaft widerspiegelt, wahr: eine Sequenz ist eine arithmetische Progression nur, wenn diese Gleichheit für irgendwelche der Begriffe der Sequenz wahr ist, beginnend mit dem 2..

Die charakteristische Eigenschaft für irgendwelche vier Zahlen einer arithmetischen Progression kann durch die Formel a + am = ak + al ausgedrückt werden, wenn n + m = k + l (m, n, k die Progressionszahlen sind).

In einer arithmetischen Progression kann jeder notwendige (N-te) Begriff durch Anwendung der folgenden Formel gefunden werden:

An = a1 + d (n-1).

Zum Beispiel ist der erste Term (a1) in der arithmetischen Progression gegeben und gleich drei, und die Differenz (d) ist gleich vier. Finde das fünfundvierzigste Mitglied dieser Progression. A45 = 1 + 4 (45-1) = 177

Die Formel a = ak + d (n – k) erlaubt es uns, den n-ten Term einer arithmetischen Progression durch irgendwelche seiner k-ten Terme zu bestimmen, sofern bekannt ist.

Die Summe der Begriffe der arithmetischen Progression (wir verstehen die ersten n Begriffe der endlichen Progression) wird wie folgt berechnet:

Sn = (a1 + an) n / 2.

Wenn der Unterschied zwischen der arithmetischen Progression und dem ersten Term bekannt ist, dann ist eine andere Formel für die Berechnung geeignet:

Sn = ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n

Die Summe der arithmetischen Progression, die n Terme enthält, wird also berechnet:

Sn = (a1 + an) * n / 2

Die Wahl der Formeln für Berechnungen hängt von den Bedingungen der Aufgaben und der Anfangsdaten ab.

Die natürliche Reihe von beliebigen Zahlen, wie 1,2,3, …, n, … ist das einfachste Beispiel für eine arithmetische Progression.

Neben der arithmetischen Progression gibt es auch eine geometrische Progression, die ihre eigenen Eigenschaften und Eigenschaften hat.