Russells Paradox: Basisinformationen, Beispiele, Formulierungs

Russell Paradox ist, zwei voneinander abhängige logische Antinomie.

Zwei Formen von Russells Paradox

Die am häufigsten diskutierten Form eines Widerspruchs in der Logik-Sets. Einige der Satz scheint sich die Mitglieder und andere zu sein – nein. Die Menge aller Mengen ist selbst ein Satz, so scheint es, dass es auf sich selbst verweist. Null oder leer ist, sollte jedoch nicht Mitglied von sich selbst sein. Daher wird die Menge aller Mengen, als Null nicht in sich selbst eingeschlossen. Das Paradox entsteht, wenn die Frage, ob der Satz von einem Mitglied von sich selbst. Dies ist möglich, wenn und nur wenn es nicht ist.

Eine andere Form Paradox ist ein Widerspruch in Bezug auf Eigenschaften. Einige Eigenschaften, scheint sich zu beziehen, während andere nicht. Die Eigenschaft sein Eigentum selbst eine Eigenschaft ist, während die Eigenschaft es ist eine Katze nicht. Betrachten Sie die Eigenschaft eine Eigenschaft hat, die ihm nicht gehören. wenn es gilt für selbst? Auch hier soll eine der Annahmen das Gegenteil sein. Das Paradoxon wurde zu Ehren von Bertrand Russell (1872-1970) benannt, der es im Jahr 1901 entdeckt.

Geschichte

Eröffnung Russell trat während seiner Arbeit an „Principles of Mathematics“. Obwohl er das Paradox unabhängig entdeckt, gibt es Hinweise darauf , dass andere Mathematiker und Entwickler der Mengenlehre, darunter Ernst Zermelo und David Hilbert, der ersten Version von Widersprüchen vor ihm bewusst waren. Russell war jedoch die erste, der das Paradox in seinen veröffentlichten Arbeiten im Detail diskutiert, zunächst versucht, Lösungen zu formulieren und die ersten vollständig ihre Bedeutung zu würdigen. Ein ganzes Kapitel „Grundsätze“ wurde die Diskussion über dieses Thema gewidmet, und der Antrag wurde die Typentheorie gewidmet, die Russell als Lösung vorgeschlagen.

Russell entdeckte das „Paradox des Lügners‘ Cantors Mengenlehre unter Berücksichtigung, die besagt, dass die Leistung jedes Satzes kleiner ist als die Menge seiner Untergruppen. Zumindest in der Domäne soll so viele Teilmengen sein, wie es Elemente in ihr, wenn eine Teilmenge von jedem Elemente festgelegt ist nur dieses Element enthält. Darüber hinaus erwies sich Cantor, dass die Anzahl der Elemente nicht auf die Anzahl von Untergruppen gleich sein kann. Wenn es die gleiche Anzahl, wäre es muß ƒ Funktion existiert, die Elemente auf ihren Untergruppen angezeigt werden würde. Zugleich kann bewiesen werden, dass dies unmöglich ist. Einige Artikel können auf die Funktion ƒ Untergruppen angezeigt werden, die sie enthalten, während andere nicht.

Betrachten wir die Teilmenge von Elementen, die nicht zu ihren Bildern gehören, in denen sie ƒ anzuzeigen. Es ist selbst eine Teilmenge von Elementen, und somit ƒ Funktion würde es auf einem Element in der Domäne anzeigen. Das Problem besteht darin, dass dann stellt sich die Frage, ob dieses Element gehört zu der Untergruppe, zu der es ƒ zeigt. Dies ist nur möglich, wenn es nicht gehört. Russells Paradoxon kann als ein Beispiel für die gleiche Argumentationslinie zu sehen ist, nur vereinfacht. Was ist mehr – die Mengen oder Teilmengen der Menge? Es scheint, dass es mehr Sätze sein, da alle Teilmengen der Sätze selbst. Aber wenn Cantors Theorem wahr ist, dann sollte es mehr Teilmengen sein. Russell betrachtet einfach angezeigt werden Sätze auf sich selbst und angewandter kantoriansky Ansatz, um die Menge aller dieser Elemente unter Berücksichtigung außerhalb eines Satzes in der sie angezeigt werden. Zeige Russell wird die Menge aller Mengen, einer nicht.

Fehler Frege

„Das Paradox des Lügners“ hatte einen großen Einfluss auf die historische Entwicklung der Mengenlehre. Er zeigte, dass das Konzept des universellen Satzes höchst problematisch ist. Er stellte auch die Vorstellung, dass für jede definierte Bedingung oder Prädikat die Existenz einer Vielzahl von nur die Dinge, die diese Bedingung erfüllen annehmen kann. Option Paradoxon über die Eigenschaften – eine natürliche Erweiterung der Versionssätze – ernste Zweifel, ob es möglich ist, über die objektive Existenz einer Eigenschaft oder eine universelle Übereinstimmung mit jedem durch die Bedingung, oder Prädikat bestimmt zu argumentieren.

Bald werden die Widersprüche und Probleme in der Arbeit der Logiker gefunden wurden, Philosophen und Mathematiker, die ähnliche Annahmen gemacht haben. Im Jahr 1902 fand Russell, dass eine Variante des Paradoxons in Band I von Gottlob Freges „Grundlagen der Arithmetik“, eines der wichtigsten Werke der Logik des späten XIX in einem logischen System, entwickelt ausgedrückt werden – Anfang XX Jahrhunderts. In der Philosophie des Frege viele als „Erweiterung“ oder „value-range“ Konzept verstanden. Die Konzepte sind in der Nähe von denen des Korrelate. Sie werden für einen bestimmten Zustand oder Prädikat existieren erwartet. So gibt es ein Konzept eines Satzes, die nicht unter die Definition dessen Konzept fallen. Es gibt auch eine Klasse dieses Konzept definiert, und es unterliegt der Definition sein Konzept nur dann, wenn dies nicht der Fall.

Russell schrieb Frege über diesen Konflikt im Juni 1902 Korrespondenz eines der spannendsten worden und sprach in der Geschichte der Logik zu. Frege sofort erkannte die katastrophalen Folgen des Paradoxons. Er stellte jedoch fest, dass die Version der Kontroverse über die Eigenschaften in seiner Philosophie durch die Unterscheidung zwischen den Begriffen Ebenen gelöst wurde.

Freges Begriff verstanden als Übergang von den Argumenten der Funktion auf TRUE. Die Konzepte der ersten Ebene nehmen als Argumente die Objekte der zweiten Ebene Konzepte nehmen als Argumente für diese Funktionen, und so weiter. Somit kann das Konzept nimmt nie selbst als Argument, und das Paradox in Bezug auf den Eigenschaften nicht formuliert werden kann. Dennoch setzt, Erweiterung oder Konzepte Frege verstanden wie die aller anderen Objekte auf dem gleichen logischen Typ Bezug genommen wird. Dann gilt für jeden Satz gibt es eine Frage, ob es unter den Begriff fällt, es zu definieren.

Wenn Frege, Russell die ersten Buchstaben empfangen wird, wird die zweite Band von „Grundlagen der Arithmetik“ print bereits beendet. Er war gezwungen, schnell eine Anwendung zu erstellen, die eine Antwort auf die Paradox von Russell gibt. Beispiele Frege enthielt eine Reihe von möglichen Lösungen. Aber er kam zu dem Schluss, das Konzept des Abstraktion Satzes in einem logischen System zu schwächen.

Im Original war es möglich, dass das Objekt zu schließen, zu dem Satz gehört, wenn und nur wenn sie unter dem Begriff fallen, es definiert. Das überarbeitete System kann nur feststellen, dass der Gegenstand zur Menge gehört, wenn und nur wenn es unter dem Begriff fällt eine Mehrzahl von definierenden, jedoch nicht in Frage gesetzt. Russells Paradox entsteht.

Die Lösung ist jedoch nicht ganz zufrieden mit Frege. Und das war der Grund. Einige Jahre später komplexere Form des Widerspruchs wurde für das überarbeitete System nicht gefunden. Aber noch bevor dies geschah, gab Frege seine Entscheidungen und scheint zu dem Schluss zu kommen, dass sein Ansatz einfach nicht praktikabel war, und diese Logik wird, ohne dass die Sätze zu tun hat.

Wieder andere wurden, relativ erfolgreiche alternative Lösungen vorgeschlagen. Diese werden im Folgenden erörtert.

Die Theorie der Typen

Es wurde festgestellt , dass über Frege eine angemessene Antwort auf die Paradoxien war der Mengenlehre in der für Eigenschaften formuliert Version. Freges Reaktion wurde durch die am häufigsten diskutierte Lösung dieser Form Paradox voraus. Es basiert auf der Tatsache, dass die Eigenschaften verschiedene Typen unterliegen und welche Art von Eigentum ist nie das gleiche wie die Elemente, auf die sie sich bezieht.

So nicht einmal stellt sich die Frage, ob die Eigenschaft ist auf sich selbst anwendbar. Logische Sprache, welche die Elemente einer solchen Hierarchie trennt, die Theorie der Typen verwenden. Obwohl es bereits von Frege, das ersten Mal verwendet wird, wird es vollständig erklärt und Russell im Anhang zum „Prinzip“ begründet. Die Typentheorie war vollständiger als die Unterscheidung von Frege Ebenen. Sie teilte Eigenschaften sind nicht nur verschiedene Arten von Logik, sondern auch gesetzt. Typ Theorie den Widerspruch in dem Paradox von Russell folgt zu lösen.

Um ein philosophischer angemessen zu sein, erfordert die Annahme der Theorie der Arten von Eigenschaften, die Entwicklung der Theorie von der Art der Eigenschaften, so dass könnte erklären, warum sie nicht auf sich selbst angewendet werden können. Auf den ersten Blick macht es Sinn, ihr Eigentum Prädikat. Die Eigenschaft der Selbstidentität zu sein, wie es scheint, es ist auch eine Selbstidentität. Das Anwesen scheint ein schönes angenehm. Auf die gleiche Art und Weise, es scheint, scheint es falsch zu sagen, dass die Eigenschaft, eine Katze eine Katze ist.

Dennoch gerechtfertigt verschiedene Denker die Aufteilung der verschiedenen Typen. Russell gab auch verschiedene Erklärungen zu verschiedenen Zeiten in seiner Karriere. Für seinen Teil, kommt die Begründung für die Trennung der verschiedenen Konzepte von Frege Ebenen aus seiner Theorie der ungesättigten Konzepte. Konzepte als Funktion im Wesentlichen vor, sind unvollständig. Zur Bereitstellung Wert, müssen sie ein Argument. Sie können nicht nur ein Konzept, das Konzept des gleichen Typs Prädikat, weil es immer noch sein Argument erfordert. Zum Beispiel, obwohl es möglich ist, die Quadratwurzel aus der Quadratwurzel einer Zahl zu nehmen, können Sie nicht nur eine Quadratwurzelfunktion zur Quadratwurzel-Funktion verwenden und ein Ergebnis bekommen.

Über Konservatismus Eigenschaften

Eine weitere mögliche Lösung ist die Paradox Eigenschaften Negation Eigenschaften Existenz unter den gegebenen Bedingungen oder ein wohlgeformtes Prädikat. Natürlich, wenn jemand metaphysische Eigenschaften beider objektive und unabhängige Elemente als Ganzes meidet, wenn wir Nominalismus Paradox nehmen können vollständig vermieden werden.

Jedoch muss die Antinomie lösen nicht so extrem sein. Logic Systeme höherer Ordnung entwickelt Frege und Russell, das enthalten, was ein konzeptionelles Prinzip genannt wird, nach dem jede offene Formeln unabhängig davon, wie komplex existiert als Teil einer Eigenschaft oder ein Konzept zum Beispiel nur die Elemente, die die Formel entsprechen. Sie wendeten den Attributen eines jeden möglichen Satz von Bedingungen oder Prädikate, egal wie komplex sie waren.

Trotzdem war es möglich, eine strengere Metaphysik Eigenschaften zu nehmen, das Recht auf die objektive Existenz von einfachen Eigenschaften enthalten, einschließlich, zum Beispiel, wie rote Farbe, Festigkeit, Freundlichkeit und so weiter. D. Sie können sogar lassen sich diese Eigenschaften beziehen sich auf sich selbst, wie Freundlichkeit kann freundlich sein.

Und der gleiche Status für komplexe Attribute kann beispielsweise verweigert werden, solche „Eigenschaften“ als Siebzehnkopf, werden geschriebene unter Wasser und dergleichen. D. In diesem Fall wird keine vorgegebene Bedingung nicht die Eigenschaft erfüllen, verstanden als separat bestehende Element, das seine eigenen Eigenschaften hat. So kann man die Existenz von einfachen Eigenschaften be-Eigenschaft-that-Nicht-Anwendung an sich selbst verleugnen und Paradox zu vermeiden, indem konservativere metaphysischen Eigenschaften anwenden.

Russells Paradox: die Lösung

Oben wurde darauf hingewiesen, dass Frege ganz am Ende seines Lebens, die Logik der Sätze aufgegeben. Dies ist natürlich, eine Lösung für die Antinomie in Form von Sets: eine einfache Leugnung der Existenz solcher Elemente als Ganzes. Darüber hinaus gibt es noch andere beliebte Wahl sind die Grundlagen, von denen weiter unten.

Die Theorie für viele Arten von

Wie bereits erwähnt, spielte Russell für eine vollständigere Theorie der Typen, die nicht nur die Eigenschaften oder Konzepte auf verschiedene Arten, aber auch eingestellt teilen. Russell shared auf mehreren getrennten Einheiten festgelegt, eine Vielzahl von Sätzen von getrennten Objekten usw. Die Sätze von Objekten wurden nicht berücksichtigt, und eine Vielzahl von Sätzen – .. Sets. Viele nie genossen die Art, können Sie als Mitglied von sich selbst haben. Deshalb gibt es keine Menge aller Mengen, die nicht Mitglieder der eigenen sind, weil für jede Reihe von Fragen darüber, ob es als Mitglied ist, ist selbst eine Verletzung Art. Auch hier ist die Frage der Metaphysik Sätze zu erklären, die philosophischen Grundlagen der Einteilung in Typen zu erklären.

Schichtung

Im Jahr 1937 hat V. V. Kuayn eine alternative Lösung, in ähnlicher Weise wie die Theorie der Typen angeboten. Grundlegende Informationen über sie sind.

Trennelement-Sets und andere. Aus so dass die Annahme einer Vielzahl der Suche nach immer falsch oder bedeutungslos. Sets können nur bereitgestellt werden, wenn ihre Bedingungen definieren, sind keine Verletzung Art. So kann Quine, der Ausdruck „x kein Mitglied von x“ ist die sinnvolle Aussage nicht die Existenz der Menge aller Elemente x diese Bedingung erfüllt bedeuten.

In diesem System besteht ein Satz für einige offene Formel A, wenn und nur wenn sie geschichtet ist, t. E. Wenn die Variablen positive ganze Zahlen, so dass für jedes Merkmal Auftreten einer Vielzahl von vorausgehenden Variablen zugewiesen werden, ist Zuordnungseinheit zugeordnet kleiner als die Variable, folgende hinter ihm her. Dies blockiert Russells Paradox, da die Formel das Problem Satz zu bestimmen, gibt es das gleiche vor und nach den variablen Mitgliedschaft Zeichen es nicht geschichteten machen.

Aber es muss noch, ob das resultierende System bestimmen, die Quine „Neue Grundlagen der mathematischen Logik“ konsistent bezeichnet.

Ablehnung

Fraenkel (ZF) – Ein ganz anderer Ansatz ist in der Theorie der Zermelo genommen. Auch hier setzen eine Obergrenze für die Existenz von Mengen. Stattdessen nähern sich dem „top-down“ von Russell und Frege, der zunächst dachte, dass für alle Konzepte, Eigenschaften oder Bedingungen kann die Existenz der Menge aller Dinge mit dieser Eigenschaft vorschlagen oder eine solche Bedingung zu erfüllen, in ZF-Theorie, alles beginnt „von unten nach oben.“

Einzelne Elemente der leeren Menge und einen Satz bilden. Deshalb, im Gegensatz zu früheren Systemen und Russell Frege FIT nicht dem Universal-Set gehören, die alle Elemente enthält und auch alle Sets. ZF setzt strenge Grenzen für die Existenz von Mengen. Existieren nur diejenigen, für die es eindeutig postuliert wird oder die mittels iterative Prozesse und dergleichen formuliert werden kann. D.

Dann wird anstelle des Begriff Abstraktion naiven Satzes, der besagt, dass ein bestimmtes Element in dem Satz enthalten ist, wenn und nur wenn es die Bedingungen in dem Trennprinzip erfüllt verwendet DF, Trennung oder „Sortierung“. Anstatt anzunehmen, die Existenz der Menge aller Elemente, die ohne Ausnahme sind, eine bestimmte Bedingung erfüllen, für jeden vorhandenen Satz anzeigt Aussonderung der Existenz einer Teilmenge aller Elemente in dem ursprünglichen Satz, die die Bedingung erfüllt.

Dann Abstraktionsprinzip kommt: wenn die Menge A existiert, dann für alle x in A, gehört x zu der Untergruppe A, die die Bedingung erfüllt, wenn und nur wenn x die Bedingung erfüllt, C. Dieser Ansatz das Paradox Russell löst, da wir nicht einfach davon ausgehen, das heißt, die Menge aller Mengen, die nicht Mitglieder selbst sind.

eine Menge von Sätzen haben, können Sie sich in Gruppen auswählen oder dividieren, die in sich selbst sind, und diejenigen, die nicht so sind, aber da gibt es keinen allgemein gültigen Satz ist, werden wir nicht Menge aller Mengen gebunden. Ohne das Problem der Annahme setzt Russell Widerspruch nicht nachgewiesen werden kann.

andere Lösungen

Darüber hinaus gab es auch nachträgliche Erweiterungen oder Modifikationen dieser Lösungen, wie zum Beispiel eine Gabel-Theorie der „Principles of Mathematics“ Systemerweiterung „mathematische Logik“ Quine sowie neuere Entwicklungen in der Mengenlehre, machte Bernays, Gödel und von Neumann. Die Frage, ob die Antwort auf den unlöslichen Paradox Bertrand Russell gefunden wird, ist nach wie vor umstritten.