Reelle Zahlen und ihre Eigenschaften

Pythagoras behauptete, dass die Zahl der Grundlegung der Welt auf einem Niveau mit den wichtigsten Elementen ist. Platon glaubte, dass die Anzahl der Links, die Erscheinung und die noumenon, helfen, zu wissen, zu wiegende und Schlussfolgerungen zu ziehen. Arithmetik kommt von dem Wort „arifmos“ – der Nummer, der Ausgangspunkt in der Mathematik. Es ist möglich, jedes Objekt zu beschreiben – von einfachen bis zu Apfel abstrakter Räumen.

Muss als Entwicklungsfaktor

In den Anfangsstadien der Entwicklung der Gesellschaft der Bedürfnisse der Menschen durch die Notwendigkeit Punktzahl zu halten – .. Ein Sack Korn, zwei Kornbeutel, etc. Um dies zu tun, war es natürliche Zahlen, die Menge davon ist eine unendliche Folge von positiven ganzen Zahlen N.

Später war die Entwicklung der Mathematik als Wissenschaft, ist es notwendig im spezifischen Bereich der ganzen Zahlen Z – es negative Werte und Null enthält. Sein Auftritt auf nationaler Ebene, es wurde durch die Tatsache hervorgerufen, dass die erstmalige Bilanzierung mußte irgendwie die Schulden und Verluste beheben. Auf wissenschaftlicher Ebene haben negative Zahlen machte es möglich , einfach zu lösen lineare Gleichungen. Unter anderem ist es nun möglich, Bild triviales Koordinatensystem, dh. A. ein Bezugspunkt dort war.

Der nächste Schritt war die Notwendigkeit, gebrochene Zahlen einzugeben, da die Wissenschaft bleibt nicht stehen, immer wieder neue Entdeckungen eine theoretische Grundlage für ein neues Push-Wachstum gefordert. So war es ein Feld der rationalen Zahlen Q.

Schließlich erfüllen nicht mehr die Anforderungen der Rationalität, da alle neuen Erkenntnisse Rechtfertigung bedürfen. Es gab ein Feld der reellen Zahlen R, die Werke von Euklid incommensurability bestimmten Mengen wegen ihrer Irrationalität. Das heißt, der antike griechische Mathematiker positionierte nicht nur Zahl als Konstante, sondern als einen abstrakten Wert , der durch das Verhältnis von inkommensurabel Größen charakterisiert ist. Aufgrund der Tatsache, dass es reelle Zahlen sind, „sahen wir die Licht“ Werte wie „pi“ und „e“, ohne welche die moderne Mathematik Platz nicht getroffen.

Die letzte Neuerung war eine komplexe Zahl C. Es hat eine Reihe von Fragen beantwortet und entkräftet zuvor eingegebenen Postulate. Aufgrund der rasanten Entwicklung der Algebra Ergebnis war vorhersehbar – mit reellen Zahlen, die Entscheidung vieler Probleme nicht möglich war. Zum Beispiel dank der komplexen Zahlen stand Stringtheorie und Chaos erweiterte Gleichungen der Hydrodynamik aus.

Mengenlehre. Kantor

Der Begriff der Unendlichkeit hat immer Kontroversen hervorgerufen, da es unmöglich war, zu beweisen oder zu widerlegen. Im Zusammenhang mit der Mathematik, die streng überprüft Postulate betrieben wird, es manifestiert sich am deutlichsten, desto mehr, dass der theologische Aspekt noch in der Wissenschaft gewogen.

Aber durch die Arbeit der Mathematiker Georg Cantor ganze Zeit an seinem Platz. Er bewies, dass die unendlichen Mengen gibt eine unendliche Menge ist, und dass das Feld R größer als das Feld N, lassen sie beide und haben kein Ende. In der Mitte des XIX Jahrhunderts, öffentlich seine Ideen Unsinn und ein Verbrechen gegen die klassischen unveränderliche Kanonen genannt, aber die Zeit wird alles an seinem Platz gestellt.

Grundeigenschaften des Feldes R

Die tatsächlichen Zahlen nicht nur die gleichen Eigenschaften wie das podmozhestva, die sie umfassen, sind aber durch andere masshabnosti aufgrund seiner Elemente ergänzt:

• Null R. existiert und gehört zum Bereich c + c = 0 für jedes c von R.
• Null existiert und gehört zum Bereich R. c x 0 = 0 für jedes c von R.
• Das Verhältnis c: d, wenn d ≠ 0 vorhanden und gültig ist für jeden c, d von R.
• Feld R bestellt, das heißt, wenn c ≤ d, d ≤ c, dann c = d für jedes c, d von R.
• Zusätzlich in Feld R kommutativ, d.h. c + d = d + c, für jeden c, d von R.
• Multiplikation im Feld R kommutativ, d x c x d = d c für alle c, d von R.
• Zusätzlich in Feld R ist assoziativ d.h. (c + d) + f = c + (d + f) für jeden c, d, f von R.
• Multiplikation im Bereich R ist assoziativ d.h. (c x d) x f = c x (D x F) für jeden c, d, f von R.
• Für jede Anzahl von Feld R entgegengesetzt ist es dort, so daß c + (-c) = 0, wobei c, -c von R.
• Für jede Anzahl von Feld R vorhanden sein Inverses, so dass c x c ¹ = 1 wobei c, c ^-1 von R.
• Einheit existiert und gehört zur R, so dass die c x 1 = c, für jedes c von R.
• Es hat die Potenzgesetzverteilung, so daß c x (d + f) = c x d c + x f, für jeden c, d, f von R.
• Das R-Feld ist Null nicht gleich eins ist.
• Bereich R ist transitiv: wenn c ≤ d, d ≤ f, dann c ≤ f für jeden c, d, f von R.
• In der R und zusätzlich, um miteinander verbunden sind: wenn c ≤ d, dann c + d + f ≤ f für all c, d, f von R.
• In der Reihenfolge von R und Multiplikation verknüpft: wenn 0 ≤ c, 0 ≤ d, dann 0 ≤ c x d für jeden c, d von R.
• Als negative und positive reelle Zahlen kontinuierlich sind, das heißt, für jeden c, d von R f besteht aus R, daß c ≤ f ≤ d.

Modulfeld R

Die reellen Zahlen sind so etwas wie ein Modul. Bezeichnet es als die | f | für jeden f in R. | f | = F, wenn 0 ≤ f und | f | = -f, wenn 0> f. Wenn wir das Modul als geometrischer Wert betrachten, ist es ein Abstand ist – es spielt keine Rolle, „bestanden“ Sie als Null im Negativen zum Positiven oder vorwärts.

Komplexe und reelle Zahlen. Was sind die Gemeinsamkeiten und Unterschiede?

Im großen und ganzen komplexen und reellen Zahlen – sie sind ein und dasselbe, mit der Ausnahme, dass die ersten der imaginären Einheit i verbunden ist, der Platz von denen gleich -1. Elemente Felder R und C kann durch die folgende Formel dargestellt werden:

• c = d + f x i, wobei d, f, gehört in den Bereich R, und i – imaginäre Einheit.

Um die c von R f in diesem Fall einfach angenommen, zu erhalten auf Null, das heißt, es gibt nur den Realteil der Zahl. Da der Körper der komplexen Zahlen hat die gleiche Funktion wie das Feld der realen gesetzt, f x i = 0, wenn f = 0.

Im Hinblick praktische Unterschiede, beispielsweise im Bereich R quadratische Gleichung kann nicht gelöst werden , wenn die Diskriminante negativ ist , während die C – Box diese Beschränkung auferlegen nicht durch die imaginäre Einheit Einführen i.

Ergebnisse

„Bricks“ Axiome und Postulate, auf deren Grundlage der Mathematik, nicht ändern. Auf einige von ihnen aufgrund der Zunahme von Informationen und der Einführung neuer Theorien platziert den folgenden „Ziegel“, die in Zukunft die Grundlage für den nächsten Schritt werden können. Zum Beispiel natürliche Zahlen, trotz der Tatsache, dass sie eine Teilmenge der realen Feld R sind, nicht verliert seine Bedeutung. Es ist ihnen die Grundlage aller elementaren Arithmetik, die mit dem Wissen eines Mannes des Friedens beginnt.

Aus praktischer Sicht sehen die reellen Zahlen wie eine gerade Linie. Es ist möglich, eine Richtung zu wählen, den Ursprung und die Tonhöhe zu identifizieren. Direkt besteht aus einer unendlichen Anzahl von Punkten, von denen jeder auf eine einzige reelle Zahl entspricht, unabhängig davon, ob oder nicht rational. es ist aus der Beschreibung klar , dass wir über das Konzept sprechen, die Mathematik im Allgemeinen und basierte mathematische Analyse im Besonderen.