die Basis, Seiten- und voll: Wie die Fläche einer Pyramide berechnen?

In Vorbereitung auf die Prüfung in Mathematik Studenten haben die Kenntnisse der Algebra und Geometrie zu systematisieren. Ich möchte alle bekannten Informationen kombinieren, wie zum Beispiel, wie die Fläche einer Pyramide zu berechnen. Darüber hinaus ist aus dem Boden und den Seitenflächen ausgehend, bis die gesamte Oberfläche. Wenn die Seitenflächen der Situation klar ist, wie sie Dreiecke sind, ist die Basis immer wieder anders.

Wie, wenn die Fläche der Basis der Pyramide sein?

Es kann ziemlich jede Figur aus einem beliebigen Dreieck auf den n-gon sein. Und diese Basis, mit Ausnahme des Unterschiedes in der Anzahl von Winkeln, kann richtig oder falsch Figur sein. Im Interesse der Studenten Aufgaben in der Prüfung nur Jobs mit den richtigen Zahlen in der Basis gefunden. Deshalb werden wir nur darüber reden.

Dreieck

Das ist gleichseitig. Eine, die alle Parteien gleich sind, und sind mit dem Buchstaben „a“ bezeichnet. In diesem Fall wird die Grundfläche der Pyramide berechnet durch die Formel:

S = (a * ² √3) / 4.

Platz

Die Formel zur Berechnung seiner Fläche ist die einfachste, ist „a“ – Seite ist wieder soweit:

Und S = ^2.

Willkürliche regelmäßige n-Ecks

An den Seiten des Polygons die gleiche Bezeichnung. Für die Anzahl der Winkel verwendeten lateinische Buchstaben n.

S = (n * a ²⁾ / (4 * tg (180 ° / n)) .

Wie bei der Berechnung der Fläche der lateralen und vollflächig betreten?

Da die Basis Abbildung korrekt ist, dann werden alle Flächen der Pyramide sind gleich. Von denen jedes ein gleichschenkliges Dreieck, da die Seitenkanten gleich sind. Dann wird, um die Fläche einer Seite der Pyramide muß Formel aus der Summe der Monome bestehend identisch zu berechnen. Die Anzahl von Termen wird durch die Menge der Basisseiten bestimmt.

Die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks ist durch die Formel in der die Hälfte des Basisproduktes berechnet wird, multipliziert mit der Höhe. Diese Höhe in der Pyramide genannt Apothema. Seine Bezeichnung – "A". Die allgemeine Formel für den Bereich der Mantelfläche ist wie folgt:

S = ½ P * A, wobei P – Umfang der Basis der Pyramide.

Es gibt Zeiten, wenn es nicht auf die Basisseite bekannt, aber die Seitenkanten (a) flach und der Winkel an der Spitze (α). Dann setzt er die folgende Formel verwenden, um die Seitenfläche der Pyramide zu berechnen:

S = n / 2 bis ² * sin α.

Aufgabe № 1

Zustand. Findet die Gesamtfläche der Pyramide, wenn seine Basis ist ein gleichseitiges Dreieck mit einer Seitenlänge von 4 cm und hat den Wert √3 Apothema cm.

Entscheidung. Es soll bei der Berechnung des Basisumfang starten. Da es sich um ein gleichseitiges Dreieck, dann P = 3 * 4 = 12 cm Apothema Wie bekannt ist, kann man sofort die Fläche der gesamten Seitenfläche berechnen :. ½ * 12 * √3 = 6√3 ^cm2.

Um das Basisdreieck zu erhalten , ist der Wert der Fläche (4 ² * √3) / 4 = 4√3 ^cm2.

Um den gesamten Bereich bestimmen müssen die beiden resultierenden Werte falten: 6√3 + 4√3 = 10√3 ^cm2.

Antwort. 10√3 ^cm2.

Problem № 2

Zustand. Es gibt eine regelmäßige viereckige Pyramide. Die Länge der Basis ist gleich 7 mm, die Seitenkante – 16 mm. Sie müssen ihre Oberfläche kennen.

Entscheidung. Da die Polyeder – rechteckig ist und richtig ist, an seiner Basis ein Quadrat ist. Hearing Grundfläche und Seitenflächen der Lage, die quadratische Pyramide zu zählen. Die Formel für den Platz ist oben angegeben. Und ich weiß, alle Seitenflächen des Dreiecks. Daher können Sie Heron-Formel verwenden für ihre Bereiche zu berechnen.

Die ersten Berechnungen sind einfach und führen zu dieser Nummer: 49 mm ^2. Auf den zweiten Wert berechnen muß semiperimeter: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Jetzt können wir die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks berechnen: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) ²⁾ = √2985,9375 = 54.644 mm ^2. Es gibt vier Dreiecken, so dass, wenn die endgültigen Zahlen Berechnung müssen mit 4 multipliziert werden.

Erhalten: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 ^mm2.

Antwort. 267,576 gewünschter Wert von ² mm.

Aufgabe № 3

Zustand. In regelmäßigen viereckigen Pyramide ist notwendig, die Fläche zu berechnen. Es wird Seite des Quadrats bekannt – 6 cm und Höhe – 4 cm.

Entscheidung. Der einfachste Weg, um die Formel zu dem Produkt des Umfangs und Apothema zu verwenden. Der erste Wert wird einfach gefunden. Der zweite ein wenig härter.

Wir werden den Satz des Pythagoras erinnern und betrachten ein rechtwinkliges Dreieck. Es wird durch die Höhe der Pyramide und Apothema gebildet, die die Hypotenuse ist. Der zweite Schenkel ist die Hälfte der Seite des Quadrats, da eine Polyeder Höhe in der Mitte davon fällt.

Begünstigt Apothema (die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks) gleich √ (März ² + 4 ²⁾ = 5 (cm).

Nun ist es möglich , den gewünschten Wert zu berechnen: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 = 96 ² (cm ²⁾ ist ^.

Antwort. 96 cm ^2.

Problem № 4

Zustand. Dana regelmäßig hexagonale Pyramide. Die Seiten seiner Basis gleich 22 mm, die Seitenkanten – 61 mm. Was ist der Bereich der Seitenfläche dieses Polyeder?

Entscheidung. Die Begründung darin ist die gleiche wie bei der Aufgabe №2 beschrieben. Nur die Pyramide dort auf den Platz an der Basis gegeben, und jetzt ist es ein Sechseck.

Der erste Schritt wird durch die Grundfläche der obigen Formel ^{(6 * 22 2) / (berechnet} 4 * tg (180 ° / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ^cm2.

Jetzt müssen Sie Halb Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks finden, die eine Seitenfläche ist. (22 + 61 * 2) :. = 72 cm 2 bleibt auf Heron-Formel die Fläche jedes des Dreiecks zu berechnen, und dann durch das Sechsfache multiplizieren und die, die auf die Basis gedreht wird.

Berechnungen auf Heron-Formel: √ (72 * (72-22) * (72-61) ²⁾ = √435600 = 660 cm ^2. Die Berechnungen , die Mantelfläche liefern: 660 * 6 = 3960 cm ^2. Es bleibt sie zu addieren , die gesamte Oberfläche , um herauszufinden: 5217,47≈5217 cm ^2.

Antwort. Gründe – 726√3 cm ^2, die Seitenfläche – 3960 cm ^2, die gesamte Fläche – 5217 cm ^2.