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Eigenschaften des Grades

Das Anheben einer Zahl in einem natürlichen Grad bedeutet seine unmittelbare Wiederholung durch einen natürlichen Faktor eine natürliche Anzahl von Zeiten. Die Zahl, die als Faktor wiederholt wird, ist die Grundlage des Grades, und die Zahl, die die Anzahl der identischen Faktoren angibt, wird der Exponent genannt. Das Ergebnis der durchgeführten Aktionen ist der Grad. Zum Beispiel bedeutet drei im sechsten Grad die Wiederholung der Zahl drei in Form eines Faktors sechsmal.

Die Basis eines Grades kann eine andere Zahl als Null sein.

Die zweite und dritte Kräfte der Zahl haben besondere Namen. Das ist ein Quadrat und ein Würfel.

Der erste Grad einer Zahl wird von der gleichen Zahl genommen.

Für positive Zahlen ist auch ein Grad mit einem rationalen Exponenten definiert. Wie jeder weiß, wird jede rationale Zahl in Form eines Bruches geschrieben, dessen Zähler eine ganze Zahl ist, der Nenner ist eine natürliche Zahl, dh eine positive ganze Zahl, die sich von der Einheit unterscheidet.

Eine Macht mit einem rationalen Exponenten ist die Wurzel eines Grades gleich dem Nenner des Exponenten, und der Radius ist die Basis der Macht, die auf eine Macht erhöht wird, die gleich dem Zähler ist. Zum Beispiel: drei in 4/5 ist gleich der fünften Wurzel der drei im vierten.

Wir bemerken einige Eigenschaften, die direkt aus der fraglichen Definition folgen:

  • Jede positive Zahl ist rational zum positiven Grad;
  • Der Wert einer Macht mit einem rationalen Exponenten hängt nicht von der Form seiner Aufnahme ab;
  • Ist der Boden negativ, so ist der rationale Grad dieser Zahl nicht definiert.

Mit einem positiven Fundament sind die Eigenschaften des Grades unabhängig vom Exponenten wahr.

Eigenschaften des Grades mit natürlichem Exponenten:

1. Multiplizierender Grad mit den gleichen Basen, die Base bleibt unverändert und die Indikatoren werden hinzugefügt. Zum Beispiel: Multiplikation von drei im fünften Grad um drei im siebten gibt drei bis zum zwölften Grad (5 + 7 = 12).

2. Bei der Teilung von Graden mit denselben Basen bleiben sie unverändert und die Figuren werden subtrahiert. Zum Beispiel: Wenn du im fünften Mal drei in der achten von drei teilt, bekommst du drei in einem Quadrat (8-5 = 3).

3. Wenn der Grad auf eine Leistung angehoben wird, bleibt die Basis unverändert und die Indikatoren werden multipliziert. Zum Beispiel: Wenn du 3 im fünften bis zum siebten aufstehst, bekommst du 3 im fünfunddreißigsten (5×7 = 35).

4. Um das Produkt an die Macht zu bringen, wird jeder der Faktoren auch in gleicher Weise gebaut. Zum Beispiel: Wenn du ein Produkt 2×3 in der fünften schaffst, bekommst du ein Produkt von zwei in der fünften um drei in der fünften.

5. Um einen Bruchteil an die Macht zu bringen, werden der Zähler und der Nenner in gleichem Maße angehoben. Zum Beispiel: Wenn du 2/5 in einem Fünftel aufstehst, bekommst du einen Bruchteil, in dessen Zähler – zwei im fünften, im Nenner – fünf im fünften.

Die erwähnten Eigenschaften des Grades gelten auch für fraktionierte Exponenten.

Eigenschaften einer Macht mit rationalem Exponenten

Wir stellen einige Definitionen vor. Jede null null null , auf null angehoben, ist gleich eins.

Jede ungleiche reelle Zahl, die zu einer Macht mit einem negativen Integer-Exponenten aufgeworfen wird, ist ein Bruch mit einem Zähler der Einheit und ein Nenner gleich der Macht der gleichen Zahl, aber mit dem entgegengesetzten Exponenten.

Wir ergänzen die Eigenschaften des Grades um einige neue, die sich auf rationale Exponenten beziehen.

Eine Macht mit einem rationalen Exponenten ändert sich nicht, wenn der Zähler und der Nenner seines Exponenten sich mit einer und der gleichen Zahl multiplizieren oder teilen, die nicht gleich Null ist.

An der Basis mehr als eins:

  • Ist der Indikator positiv, so ist der Grad größer als 1;
  • Bei negativ – weniger als eins.

An der Basis weniger als eine, im Gegenteil:

  • Ist der Indikator positiv, so ist der Grad kleiner als eins;
  • Bei negativ – mehr als 1.

Wenn der Exponent zunimmt, dann:

  • Der Grad selbst wächst, wenn die Basis größer als eins ist;
  • Verringert sich, wenn die Basis kleiner als eins ist.