Die Ableitung des Sinus des Winkels ist gleich dem Kosinus des gleichen Winkel
Dana einfache Trigonometrie Funktion y = sin (x), differenzierbar ist an jedem Punkt der gesamten Domäne. Wir müssen beweisen , dass die Ableitung der Sinusirgend Argument der Cosinus des gleichen Winkel gleich ist, das heißt, ‚= cos (x).
Der Nachweis basiert auf der Definition einer Ableitungsfunktion
Wir definieren x (beliebig) in einigen kleinen Umgebung eines bestimmten Punktes x & Delta; h 0. Wir werden den Funktionswert darin zeigen, und an dem Punkt x die Erhöhung einer bestimmten Funktion zu finden. Wenn & Delta; h – Argument inkrementiert, das neue Argument – die x 0 + & Dgr; x = x, der Wert dieser Funktion für einen gegebenen Wert des Arguments (x) gleich sin (x 0 + & Dgr; x), der Funktionswert an einem bestimmten Punkt (x 0) , ist auch bekannt , .
Jetzt haben wir & Delta; u = Sin (x 0 + & Delta; h) -Sin (x 0) – erhalten Inkrementfunktion.
Nach der Formel von Sinus Summe von zwei ungleichen Winkeln werden wir die Differenz & Delta; u konvertieren.
& Delta; u = Sin (x 0) · Cos (& Delta; h) + cos (x 0) · Sin (& Delta; x) minus Sin (x 0) = (cos (& Delta; x) -1 ) · Sin ( x 0) + cos (x 0) · Sin (Ah).
Durchgeführt Permutation Begriffe gruppiert ersten bis dritten Sin (x 0), den gemeinsamen Faktor entnommen – sine – die Klammern. Wir erhielten im Ausdruck Cos Differenz (& Delta; h) -1. Es hat das Schild vor der Klammer und Klammern zu ändern. Zu wissen, was ist der 1-Cos (Ah), wir die Veränderung und erhalten ein vereinfachten Ausdruck & Delta; u machen, die dann durch & Delta; h unterteilt.
& Delta; u / & Delta; h wird die Form hat: Cos (x 0) · sin (& Delta; h) / & Dgr; h 2 · sin 2 (0,5 x & Delta; h) · sin (x 0) / & Dgr; h. Dies ist das Verhältnis des Inkrements der Funktion zu dem Eintritt zu dem Inkrement des Arguments.
Es bleibt die Grenze der Verhältnisse von uns ents & Delta; h erhalten zu finden, auf Null tendiert.
Es ist bekannt, dass die Grenze Sin (& Delta; h) / & Dgr; x 1 ist, unter der Bedingung gleich ist. Und den Ausdruck 2 · sin 2 (0,5 x & Delta; h) / & Delta; h in den resultierenden Summe bestimmten Transformationen Produkt als erster Multiplizierers bemerkenswerte Grenze enthält: der Zähler der Bruch und znemenatel Teile durch 2, ersetzt das Quadrat der Sinus – Produkt. So:
(Sin (0,5 · & Delta; x) / (0,5 · & Delta; x)) · sin (& Delta; x / 2).
Die Grenze dieses Ausdrucks, wenn & Delta; h gegen Null geht, wird auf die Zahl von Null (0 von 1 multipliziert) gleich sein. Es stellt sich heraus , dass die Grenze des Verhältnisses & Delta; y / & Dgr; h Cos (x 0) · 1-0, dies Cos (x 0), dessen Expression unabhängig von & Delta; h auf 0. Der Abschluss neigt: die Ableitung von dem Sinus eines beliebigen Winkels ist gleich x y ‚= cos (x): x Kosinus, kann geschrieben werden.
Die resultierende Formulierung wird in der Tabelle der bekannten Derivate aufgeführt, in dem alle Elementarfunktionen
Bei der Lösung von Problemen, wo er die Ableitung des Sinus entspricht, können Sie die Verwendung Regeln der Differenzierung und fertige Formeln der Tabelle. Zum Beispiel: Finden Sie die Ableitung der einfachste Funktion y = 3 · Sin (x) -15. Wir verwenden die elementare Ableitungsregeln Entfernung Zahlenfaktor für das Vorzeichen der Ableitung und berechnen die Ableitung konstante Zahl (die Null). Anwenden einer Sinustabellenwert der Ableitung des Winkels gleich cos (x). Erhalten Sie die Antwort: y ‚= 3 · Cos (x) -O. Dieses Derivat seinerseits ist auch eine elementare Funktion y = H · cos (x).
Die Ableitung von Sinus- quadriert jedes Argument
Bei der Berechnung des Ausdrucks (Sin 2 (x)) ‚müssen bedenken , wie differenziert komplexe Funktion. So, 2 = Sin (x) – ist eine Potenzfunktion als Sinus Quadrat. Sein Argument ist auch eine trigonometrische Funktion, ein komplexes Argument. Das Ergebnis ist in diesem Fall gleich dem Produkt des ersten Multiplizierers ist ein Quadrat des Komplexes Derivat des Arguments, und die zweite – die Ableitung der Sinus. Hier ist die Regel, eine Funktion einer Funktion zur Unterscheidung: (u (v (x))) '(u (v (x)))' · (v (x))‘. Die Expression von v (x) – ein komplexes Argument (interne Funktion). Wenn die gegebene Funktion "Y der Sinus quadriert x gleich", dann ist die Ableitung dieser zusammengesetzte Funktion ist, y ‚= 2 · sin (x) · cos (x). Das Produkt des ersten Multiplizierers verdoppelt – Derivat bekannte Exponentialfunktion, und cos (x) – Derivat sinus komplexes Argument der quadratischen Funktion. Das Endergebnis kann unter Verwendung der Formel der trigonometrischen Sinus des doppelten Winkels umgewandelt werden. A: Das Derivat wird sin (2 · x). Diese Formel ist leicht zu merken, es wird oft als eine Tabelle verwendet.
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