Lineare und homogene Differentialgleichung erster Ordnung. Beispiele für Lösungen

Ich denke, wir sollten mit der Geschichte des glorreichen mathematischen Werkzeugs als Differentialgleichungen starten. Wie all Differential- und Integralrechnung, wurden diese Gleichungen von Newton im späten 17. Jahrhundert erfunden. Er glaubte, es war seine Entdeckung so wichtig, dass auch die verschlüsselte Nachricht, die heute wie folgt übersetzt werden kann: „Alle die Gesetze der Natur durch Differentialgleichungen beschrieben“ Es mag eine Übertreibung sein, aber es ist wahr. Jedes Gesetz der Physik, Chemie, Biologie, kann durch diese Gleichungen beschrieben werden.

Ein enormer Beitrag zur Entwicklung und Schaffung der Theorie der Differentialgleichungen hat Mathematik von Euler und Lagrange. Bereits im 18. Jahrhundert sie entdeckt und entwickelt, was jetzt an den Senioren Universitätskurse zu studieren.

Ein neuer Meilenstein in der Studie von Differentialgleichungen begann dank Anri Puankare. Er schaffte eine „qualitative Theorie der Differentialgleichungen“, die mit der Theorie der Funktionen von komplexen Variablen kombiniert signifikant von Topologie zur Gründung beigetragen – die Wissenschaft des Raumes und seine Eigenschaften.

Was sind Differentialgleichungen?

Viele Menschen haben Angst vor dem Begriff „Differentialgleichung“. In diesem Artikel werden wir jedoch im Detail das Wesen dieser sehr nützlich mathematische Werkzeug, das so kompliziert, tatsächlich nicht der Fall ist festgelegt, wie es aus dem Titel erscheint. Um eine erste Ordnung Differentialgleichung zu sprechen zu beginnen, müssen Sie sich zunächst mit den grundlegenden Konzepten vertraut machen, die von Natur aus mit dieser Definition zugeordnet ist. Und wir werden mit dem Differential starten.

Differential

Viele Menschen kennen diesen Begriff seit der High School. Allerdings bleibt noch auf sie im Detail. Stellen Sie sich die grafische Darstellung der Funktion. Wir können sie in einem solchen Ausmaß erhöhen, dass eine ihrer Segment eine gerade Linie wird. Es wird zwei Punkte nehmen, die einander unendlich nahe sind. Die Differenz zwischen den Koordinaten (x oder y) infinitesimal. Und es wird Differential bezeichnet und Zeichen bezeichnen dy (Differential von y) und dx (die Differenz von x). Es ist wichtig zu verstehen, dass das Differential nicht der höchste Wert ist, und dies ist die Bedeutung und die Hauptfunktion.

Und jetzt müssen Sie die folgenden Elemente berücksichtigen, die wir benötigen, um die Differentialgleichung Konzept zu erklären. Es – Derivat.

Derivat

Alle von uns haben müssen in der Schule und dieser Begriff gehört. Sie sagen, dass die Ableitung – ist die Wachstumsrate oder Abnahme der Funktion. Jedoch wird diese Definition eher verwirrend. Lassen Sie uns versuchen, die abgeleitete Begriffe der Differentiale zu erklären. Lassen Sie sich auf die unendlich kleine Intervallfunktion mit zwei Punkten zurück, die in einem Mindestabstand voneinander angeordnet sind. Aber auch jenseits dieser Entfernung Funktion ist an der Zeit bis zu einem gewissen Wert zu ändern. Und diese Änderung zu beschreiben und kommt mit einem Derivat, das ansonsten als das Verhältnis der Differentiale geschrieben werden würde: f (x) ‚= df / dx.

Jetzt ist es notwendig, die grundlegenden Eigenschaften des Derivats zu berücksichtigen. Es gibt nur drei:

1. Derivative Summe oder die Differenz als Summe oder Differenz der Derivate dargestellt werden: (a + b) '= a' + b 'ist, und (ab)' = A'-B‘.
2. Die zweite Eigenschaft ist mit der Multiplikation verbunden. Abgeleitete Werke – sind die Summe aus den Arbeiten von einer Funktion zur anderen Derivat: (a * b) '= a' + b * a * b‘.
3. Die Ableitung der Differenz kann als die folgende Gleichung geschrieben werden: (a / b) '= (a' * ba * b ‚) / b ^2.

All diese Eigenschaften kommen in praktisch für Lösungen zu finden Gleichungen ersten Ordnung Differential.

Auch gibt es partielle Ableitungen. Angenommen, wir eine Funktion der Z, die auf die Variablen x und y abhängt. Um die partielle Ableitung dieser Funktion, beispielsweise die Berechnung in x, benötigen wir die Variable y für konstante und leicht zu unterscheiden, zu nehmen.

Integral

Ein weiteres wichtiges Konzept – Integral. In der Tat ist es das Gegenteil des Derivats. Integralen gibt verschiedene Arten, aber die einfachsten Lösungen von Differentialgleichungen, müssen wir die banalsten unbestimmte Integrale.

Also, was ist das Integral? Lassen Sie uns sagen, dass wir f von x eine Beziehung haben. Wir nehmen die von ihm und das Integral erhalten, die eine Funktion F (x) (es oft als primitiven bezeichnet wird), das ein Derivat der ursprünglichen Funktion ist. Daher F (x) ‚= f (x). Dies bedeutet auch, dass das Integral der Ableitung auf die ursprüngliche Funktion gleich ist.

In Lösung von Differentialgleichungen ist es sehr wichtig, die Bedeutung und Funktion des Integrals zu verstehen, da sie sehr oft zu nehmen hat, Lösungen zu finden.

Die Gleichungen unterscheiden sich je nach ihrer Natur. Im nächsten Abschnitt werden wir auf Arten von Differentialgleichungen erster Ordnung aussehen, und dann lernen, wie sich zu lösen.

Klassen von Differentialgleichungen

„Diffury“ durch die Reihenfolge der Derivate aufgeteilt in ihnen beteiligt. Somit gibt es eine ersten, zweiten, dritten oder mehr um. Sie können auch in mehrere Klassen eingeteilt werden: gewöhnliche und partielle.

In diesem Artikel werden wir die gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung betrachten. Beispiele und Lösungen diskutieren wir in den folgenden Abschnitten. Wir betrachten nur die TAC, weil sie die häufigsten Arten von Gleichungen ist. Gewöhnliche unterteilt in Unterarten: mit trennbaren Variablen, homogenen und heterogenen. Als nächstes werden Sie lernen, wie sie sich voneinander unterscheiden, und lernen, wie sie zu lösen.

Darüber hinaus können diese Gleichungen kombiniert werden, so dass, nachdem wir ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung erhalten. Solche Systeme sehen wir auch an und lernen, wie man zu lösen.

Warum denken wir nur den ersten Auftrag? Da es notwendig ist, mit einem einfach zu starten und alle mit Differentialgleichungen zugeordnet beschreiben, in einem einzigen Artikel ist es unmöglich.

Gleichungen mit trennbaren Variablen

Dies ist vielleicht die einfachste Differentialgleichungen erster Ordnung. Dies sind Beispiele, die geschrieben werden kann als: y ‚= f (x) * f (y). Um diese Gleichung zu lösen müssen wir die Darstellungsformel des Derivates als das Verhältnis der Differentiale: y ‚= dy / dx. Damit erhalten wir die Gleichung: dy / dx = f (x) * f (y). Jetzt können wir mit dem Verfahren zum Lösen Standardbeispiele drehen: trennen die Variablen in Teilen, dh Vorspulen alle die Variable y in dem Teil, wo es dy ist, und auch die Variable x machen … Erhalten wir eine Gleichung der Form: dy / f (y) = f (x) dx, das, indem man die Integrale der beiden Teile erreicht wird. Nicht über die Konstante vergessen, dass man nach der Integration setzen will.

Lösung nach „diffura“ – ist eine Funktion von x durch y (in unserem Fall), oder wenn es eine numerische Bedingung ist, ist die Antwort eine Zahl. Lassen Sie uns ein konkretes Beispiel den gesamten Verlauf der Entscheidung prüfen:

y ‚= 2y * sin (x)

Übertragen Sie die Variablen in verschiedene Richtungen:

dy / y = 2 * sin (x) dx

Jetzt die Integrale nehmen. Alle von ihnen können in einer speziellen Tabelle von Integralen gefunden werden. Und wir bekommen:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Bei Bedarf können wir den „y“ als Funktion von „X“ auszudrücken. Jetzt können wir sagen, dass unsere Differentialgleichung gelöst wird, wenn nicht Bedingung angegeben. Kann Bedingung angegeben werden, zum Beispiel, y (n / 2) = e. Dann werden wir einfach den Wert dieser Variablen in der Entscheidung ersetzen und den Wert der Konstanten finden. In unserem Beispiel ist es 1.

Homogene Differentialgleichungen erster Ordnung

Nun zu den komplexeren Teilen. y ‚= z (x, y): Homogene Differentialgleichungen erster Ordnung kann wie in der allgemeinen Form geschrieben werden. Es soll beachtet werden, dass die richtige Funktion von zwei Variablen ist gleichförmig, und es kann nicht in zwei, je nach unterteilt werden: z x und z y. Überprüfen Sie, ob die Gleichung homogen ist oder nicht, ist ganz einfach: Wir machen die Substitution x = k * x und y = k * y. Nun schneiden wir alle k. Wenn diese Buchstaben fallen gelassen werden, dann homogen die Gleichung und kann sicher in seine Lösung gehen. Blick auf die Zukunft, sagen wir: das Prinzip der Lösung dieser Beispiele ist auch sehr einfach.

Wir müssen die Substitution machen: y = t (x) * x, wobei t – eine Funktion, die auch von x abhängt. y '= T' (x) * x + t: Dann können wir die Ableitung exprimieren. Setzt man dies alles in unserer ursprünglichen Gleichung und vereinfacht es, haben wir das Beispiel der Trennung von Variablen t als x. Es löst und erhalten, die die Abhängigkeit von t (x). Als wir es bekamen, einfach unsere vorherige Substitution y = t ersetzen (x) * x. Dann wir die Abhängigkeit von y auf x erhalten.

x * y ‚= yx *: Um es klarer, werden wir ein Beispiel verstehen e y / x.

Bei der Überprüfung der Ersatz aller rückläufig. So ist die Gleichung wirklich homogen. Sie nun eine weitere Substitution machen, wir sprachen über: y = t (x) * x und y '= t' (x) * x + t (x). Nach der Vereinfachung der folgende Gleichung: t ‚(x) * x = -e t. Wir beschließen , um eine Probe mit getrennten Variablen zu erhalten und wir ^{erhalten: e} – ^{t = ln (C *} x). Wir müssen nur t ersetzen durch y / x (denn wenn y t * x =, dann t = y / x), und wir erhalten die ^{Antwort: e -y / x = ln (} x * C).

Lineare Differentialgleichung erster Ordnung

Es ist Zeit, ein weiteres breites Thema zu betrachten. Wir werden uns heterogene erster Ordnung Differentialgleichungen. Wie unterscheiden sie sich von den beiden vorangegangenen? Seien wir ehrlich. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung in der allgemeinen Form der Gleichung kann somit geschrieben werden als: y ‚+ g (x) * y = z (x). Es sollte klargestellt werden, dass z (x) und g (x) konstante Werte sein kann.

Hier ein Beispiel: y ‚- y * x = x ^2.

Es gibt zwei Möglichkeiten zu lösen, und wir bestellen wir beide untersuchen lassen. Die erste – das Verfahren der Variation der beliebigen Konstanten.

Um die Gleichung auf diese Weise zu lösen, ist es notwendig, die erste rechte Seite Null gleichzusetzen und löst die resultierende Gleichung, die nach der Übertragung von Teilen wird:

y ‚= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = xdx;

ln | y | x = ^2/2 + C;

y = e ^{x2 / 2} * ^C y = C ₁ * e ^{x2 / 2.}

Jetzt ist es notwendig , die Konstante C ₁ auf der Funktion v (x) zu ersetzen, die wir finden werden.

y = v * e ^{x2 / 2.}

Zeichnen Sie einen Ersatz-Derivat:

^{y '= v' * e x2} / ² -X * v * e ^{x2 / 2.}

Und diese Ausdrücke in die ursprüngliche Gleichung ersetzt:

v ‚* e ^{x2 / 2} – x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Sie können sich auf der linken Seite der beiden Begriffe reduziert, dass. Wenn einige Beispiel, das nicht der Fall war, dann haben Sie etwas falsch gemacht. Wir sind auch weiterhin:

v ‚* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Jetzt lösen wir die übliche Gleichung, in der Sie die Variablen trennen möchten:

dv / dx = x ^{2 /} e ^x2 / ^2;

dv = x ² * e ^{– x2 / 2} dx.

Um das Integral zu entfernen, müssen wir die partielle Integration hier gelten. Dies ist jedoch nicht das Thema dieses Artikels. Wenn Sie interessiert sind, können Sie auf eigene Faust lernen solche Aktionen auszuführen. Es ist nicht schwer, und mit genügend Geschick und Sorgfalt ist nicht zeitaufwendig.

Mit Bezug auf die zweite Methode, um die Lösung der inhomogenen Gleichungen: Bernoulli-Verfahren. Welcher Ansatz ist schneller und einfacher – es ist bis zu Ihnen.

Also, wenn Sie diese Methode zu lösen, müssen wir den Wechsel vor: y = k * n. Hier k und n – Einige Funktionen in Abhängigkeit von x. Dann wird das Derivat wie folgt aussehen: y '= k' * n + k * n‘. Substitute zwei Substitutionen in der Gleichung:

k '* k * n + n ' + x * k * n = x ^2.

Gruppe nach oben:

k '* n + k * ( n' + x * n) = x ^2.

Jetzt ist es notwendig, auf Null zu, dass in den Klammern ist. Nun, wenn Sie die beiden resultierenden Gleichungen kombinieren, erhalten wir ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung gelöst werden:

n ‚+ x * n = 0;

k ‚* n = ^{2 x.}

Die erste Gleichheit entscheiden, wie die übliche Gleichung. Um dies zu tun, müssen Sie die Variablen trennen:

dn / dx = x * v;

dn / n = xdx.

Wir nehmen das Integral und wir erhalten: ln (n) = x ^2/2. Dann, wenn wir ausdrücken n:

n = e ^{x2 / 2.}

Jetzt ersetzen Sie die resultierende Gleichung in die zweite Gleichung:

k ‚* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Und Transformieren wir die gleiche Gleichung wie bei dem ersten Verfahren erhalten:

dk = x ^{2 /} e ^x2 / ^2.

Wir werden auch keine weiteren Maßnahmen diskutieren. Es wird gesagt, daß in erster erster Ordnung Differentialgleichungen Lösung erhebliche Schwierigkeiten verursacht. Es wird jedoch ein tieferes Eintauchen in dem Thema beginnt besser und besser zu werden.

Wo sind Differentialgleichungen?

Sehr aktive Differentialgleichungen in der Physik verwendet, wie fast alle Grundgesetze in differentieller Form geschrieben sind, und diese Formeln, die wir sehen – eine Lösung für diese Gleichungen. In der Chemie sind sie aus dem gleichen Grund verwendet: die grundlegenden Gesetze durch sie abgeleitet werden. In der Biologie werden die Differentialgleichungen verwendet, um das Verhalten von Systemen, wie Räuber zu modellieren – Beute. Sie können auch zu schaffen Modelle der Reproduktion verwendet werden, zum Beispiel Kolonien von Mikroorganismen.

Als Differentialgleichungen im Leben helfen?

Die Antwort auf diese Frage ist einfach: nichts. Wenn Sie kein Wissenschaftler oder Ingenieur sind, ist es unwahrscheinlich, dass sie von Nutzen sein wird. Allerdings verletzt weiß nicht, was die Differentialgleichung, und es ist für die gesamte Entwicklung gelöst. Und dann die Frage nach einem Sohn oder Tochter, „was für eine Differentialgleichung?“ legen Sie nicht in einer Sackgasse. Nun, wenn Sie ein Wissenschaftler oder Ingenieur sind, dann wissen Sie, wie wichtig dieses Thema in jeder Wissenschaft. Aber am wichtigsten ist, dass jetzt auf die Frage „wie die Differentialgleichung erster Ordnung zu lösen?“ Sie werden in der Lage, immer eine Antwort zu geben. Zustimmen, ist es immer schön, wenn man bedenkt, dass Sie heraus, was Leute haben sogar Angst zu finden.

Die Hauptprobleme in der Studie

Das Hauptproblem im Verständnis dieses Themas ist eine schlechte Angewohnheit, Integration und Differenzierung Funktionen. Wenn Sie sich unwohl NEHMEN Ableitungen und Integrale sind, ist es wahrscheinlich mehr wert zu lernen, verschiedene Methoden der Integration und Differenzierung zu lernen, und dann erst mit dem Studium des Materials gehen, die in dem Artikel beschrieben wurden.

Einige Leute sind überrascht, dass dx lernen können übertragen werden, wie zuvor (in der Schule), dass der Anteil dy / dx unteilbar ist. Dann müssen Sie die Literatur über die Ableitung zu lesen und zu verstehen, dass es die Haltung der unendlich kleiner Mengen ist, die bei der Lösung von Gleichungen manipuliert werden können.

Viele Menschen erkennen nicht sofort, dass die Lösung von Differentialgleichungen erster Ordnung – das ist oft eine Funktion oder neberuschiysya Integral- und dieser Wahn gibt ihnen eine Menge Ärger.

Was kann noch besser zu verstehen, untersucht werden?

Am besten ist es weiter Eintauchen in die Welt der Differentialrechnung von spezialisierten Lehrbücher zu starten, zum Beispiel in der mathematischen Analyse für Studierende der nicht-mathematischen Spezialitäten. Sie können dann auf die mehr Fachliteratur bewegen.

Es wird gesagt, dass, zusätzlich zu dem Differential, gibt es noch Integralgleichungen sind, so dass Sie immer etwas zu streben und was zu studieren.

Abschluss

Wir hoffen, dass dieser Artikel nach dem Lesen Sie eine Vorstellung davon haben, was die Differentialgleichungen und wie man sie richtig zu lösen.

In jedem Fall Mathematik in irgendeiner Weise nützlich, um uns im Leben. Es entwickelt sich Logik und Aufmerksamkeit, ohne die jeder Mensch, wie ohne Hände.