Differentialrechnung von Funktionen einer und mehreren Variablen

Differentialrechnung ist ein Zweig der mathematischen Analyse, die die Ableitung, Differenziale und deren Verwendung bei der Untersuchung von Funktionen untersucht.

Die Geschichte

Differentialrechnung entstand als eigenständige Disziplin in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts, dank der Arbeit von Newton und Leibniz, der die grundlegenden Bestimmungen bei der Berechnung der Differentiale formuliert und festgestellt, um die Verbindung zwischen Integration und Differenzierung. Da Disziplin entwickelte er mit der Berechnung von Integralen entlang, wodurch die Basis der mathematischen Analyse bildet. Das Auftreten dieser Kalküle eröffnete eine neue, moderne Zeit in der Welt der Mathematik und verursachte die Entstehung neuer Disziplinen in der Wissenschaft. Auch erweitert die Möglichkeit der Mathematik in den Naturwissenschaften und Technik anzuwenden.

Grundkonzepte

Differentialrechnung auf die grundlegenden Konzepte der Mathematik basiert. Es sind dies : eine reelle Zahl, die Kontinuität und Begrenzung der Funktion. Nach einiger Zeit haben sie einen modernen Look, dank der Integral- und Differentialrechnung gemacht.

Der Prozess des Erstellens

Die Bildung der Differentialrechnung in Form einer Anwendung und dann der wissenschaftliche Methode aufgetreten vor der Entstehung der philosophischen Theorie, die von Nikolai Kuzansky erstellt wurde. Seine Arbeit gilt als eine evolutionäre Entwicklung von der alten Wissenschaft des Gerichts sein. Trotz der Tatsache, dass der Philosoph selbst war kein Mathematiker, sein Beitrag zur Entwicklung der mathematischen Wissenschaft ist nicht zu leugnen. Cusa, einer der ersten aus der Betrachtung der Arithmetik als die genaueste Wissenschaft, Mathematik, die Zeit in Frage zu stellen.

Im alten Mathematiker war allgemein Kriterium eine Einheit, während der Philosoph als eine neue Maßnahme Unendlichkeit zurückkehren, die genaue Zahl vorgeschlagen. Im Zusammenhang mit dieser invertierten Darstellung der Genauigkeit der mathematischen Wissenschaft. Wissenschaftliche Erkenntnisse aus seiner Sicht, in rational und intelligent aufgeteilt. Das zweite ist, genauer, nach dem Wissenschaftler, da erstere nur ungefähre Ergebnisse.

Idee

Die Grundidee und das Konzept der Differentialrechnung mit der Funktion in einer kleinen Umgebung von bestimmten Punkten verbunden. Dazu ist es notwendig, einen mathematischen Apparat funktionieren Studien, dessen Verhaltens in einer kleinen Umgebung von Punkten in der Nähe des Verhalten einer linearen Funktion oder ein Polynom installiert zu erstellen. Basierend auf dieser Definition von Derivat und Differential.

Die Entstehung des Konzepts des Derivats wurde durch eine große Anzahl von Problemen der Naturwissenschaften und der Mathematik verursacht, die auf die Bestimmung von Grenzwerten des gleichen Typs führte.

Eine der wichtigsten Aufgaben, die als Beispiel gegeben sind, mit den ältesten Schulklassen ausgehend, ist die Geschwindigkeit der Bewegung eines Punktes auf einer geraden Linie und den Aufbau der Tangentenlinie diese Kurve zu ermitteln. Die Differenz damit verbunden, da es möglich ist, die Funktion in einer kleinen Umgebung des Punktes einer linearen Funktion annähert.

Im Vergleich mit dem Konzept der Ableitung einer Funktion einer reellen Variablen sind die Definition von Differentialen verläuft einfach auf der Funktion von allgemeiner Natur, insbesondere das Bild eines euklidischen Raum zu einem anderen.

Derivat

Lassen Sie bewegt sich der Punkt in Richtung der y-Achse für die Zeit nehmen wir x, die von Anfang eines Moments gemessen wird. Beschreiben eine solche Bewegung möglich ist, durch die Funktion y = f (x), die zu jedem Zeitpunkt x zugeordnet ist, verlagerbar Punktkoordinate. Dieser Funktionsaufruf in der Mechanik Bewegungsgesetz zu nehmen. Das Hauptmerkmal der Bewegung, insbesondere uneben, ist die momentane Geschwindigkeit. Wenn der Punkt entlang der y-Achse nach dem Gesetz der Mechanik, den Zufallszeitpunkt bewegt wird, erwirbt sie x f (x) koordinieren. In dem Zeitpunkt x + & Delta; h, wobei & Delta; h den Zuwachs der Zeit darstellt, wird es f (x + & Delta; h) kordinaty. Somit Formel gebildet & Delta; y = f (x + & Delta; h) – f (x), die ein Inkrement Funktion aufgerufen wird. Es ist ein Punkt des Weges während der Zeit von x zu x + & Delta; h durchlaufen.

Im Zusammenhang mit dem Auftreten von der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt Derivat verabreicht. Die Ableitung einer Funktion an einem festen Punkt bezeichnet die Grenze (vorausgesetzt, es existiert). Es kann auf bestimmte Zeichen bezeichnet werden:

f '(x), y', y, df / dx, dy / dx, Df (x).

Der Vorgang der Ableitung des Rufunterscheidung berechnen.

Differentialrechnung von Funktionen mehrerer Variablen

Dieses Verfahren wird angewendet, wenn Funktionsstudie Berechnung mehrerer Variablen. Wenn es zwei Variablen x und y ist, wird die partielle Ableitung in Bezug auf x am Punkt A die Ableitung dieser Funktion in x mit einer festen y bezeichnet.

Kann durch die folgenden Symbole angezeigt werden:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x und ∂f (x, y) ‚/ ∂x.

Erforderliche Kenntnisse

Um erfolgreich zu lernen und in der Lage diffury erforderliche Fähigkeiten bei der Integration und Differenzierung zu lösen. Um es einfacher die Differentialgleichungen zu verstehen, muß Thema Derivat und verstanden werden unbestimmtes Integral. Auch verletzt nicht für die Ableitung der impliziten Funktion aussehen zu lernen. Dies ist aufgrund der Tatsache, dass oft in dem Prozess des Lernens Integrale verwenden und Differenzierung.

Arten von Differentialgleichungen

Praktisch alle mit zugeordneten Steuerwerk den Gleichungen erster Ordnung differential, sind 3 Typen von Gleichungen: homogen, mit trennbaren Variablen, linear inhomogen.

Es gibt auch seltene Arten Gleichungen mit totalen Differentiale, Bernoulli-Gleichung und andere.

Fundamentals Lösungen

Um zu beginnen, sollten wir uns erinnern, ist algebraische Gleichung eines Schulkurses. Sie enthalten die Variablen und Zahlen. Um die herkömmliche Gleichung zu lösen sollte viele Zahlen finden, die eine bestimmte Bedingung erfüllen. Typischerweise haben diese Gleichungen eine Wurzel, und für die Validierung sollte nur diesen Wert in unbekannten Ort ersetzen.

Die Differentialgleichung ist ähnlich wie diese. Im allgemeinen umfasst eine Gleichung der ersten Ordnung:

• Unabhängige Variable.
• Eine Ableitung der ersten Funktion.
• Funktion oder abhängige Variable.

In einigen Fällen kann es niemand unbekannt, x oder y, aber es ist nicht so wichtig, wie es notwendig ist, die erste Ableitung zu haben, ohne Ableitungen höherer Ordnung zu der Lösung und die Differentialrechnung ist wahr.

Lösen Sie die Differentialgleichung – es bedeutet die Menge aller Funktionen zu finden, die geeignet gegebenen Ausdruck sind. Solche Sätze von Funktionen werden häufig die allgemeine Lösung Steuerung bezeichnet.

Integralrechnung

Integralrechnung ist einer der Abschnitte der mathematischen Analyse, die das Konzept der integralen, Eigenschaften und Methoden ihrer Berechnung untersucht.

Oft ist die Berechnung des Integrals tritt auf, wenn die Fläche einer krummlinigen Form berechnet wird. Hierdurch wird eine Grenzfläche, auf das eine vorbestimmte Fläche der einbeschriebenen Polygons Form mit einem allmählichen Anstieg in der Hand, und die Datenseite kann kleiner als jeder zuvor festgelegten willkürlichen kleinen Wert gemacht werden.

Der Grundgedanke bei der Berechnung der Fläche jeder geometrischen Form wird die Fläche eines Rechtecks Berechnung, dann gibt es Anzeichen dafür, dass seine Fläche zu dem Produkt aus der Länge durch die Breite gleich ist. Wenn es um die Geometrie kommt, dann werden alle Konstruktionen werden mit einem Lineal und Kompass hergestellt, und dann ist das Verhältnis von Länge zu Breite ein rationaler Wert. Wenn die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks Berechnung kann, wenn man ein nächstes Dreieck gesetzt werden bestimmt, ein Rechteck gebildet wird. Im Bereich des Parallelogramms sind in einem ähnlichen, jedoch etwas komplizierteren Verfahren, in einem Rechteck und ein Dreieck berechnet. Im Bereich eines Polygons wird durch Dreiecke darin enthalten betrachtet.

Bei der Bestimmung der Barmherzigkeit willkürlich, ist diese Methode die Kurve nicht passen. Wenn wir es in einzelne Quadrate brechen, wird es nicht gefüllten Stellen bleiben. In diesem Fall versuchen Sie zwei Schichten zu verwenden, mit Rechtecke oben und unten, als Folge derer die Graphen der Funktion enthalten und nicht enthalten. Wichtig ist hier eine Möglichkeit, diese Rechtecke zu brechen. Auch wenn wir die Pause mehr und mehr reduziert nehmen, die Fläche der oberen und unteren sollte auf einem bestimmten Wert konvergieren.

Es sollte zur Trennung in Rechtecken auf ein Verfahren zurück. Es gibt zwei gängige Methoden.

Riemann wurde Definition des Integrals formalisiert, geschaffen durch Leibniz und Newton, als der Bereich der Untergraphen. In diesem Fall betrachten man eine Figur, die aus einer gewissen Anzahl von vertikalen Rechtecken erhalten wird, indem das Intervall geteilt wird. Wenn es eine Abnahme bricht es eine Grenze, auf die der reduzierte Bereich einer solchen Figur wird diese Grenze die Riemann Integral einer Funktion in einem bestimmten Intervall bezeichnet.

Ein zweites Verfahren ist das Lebesgue- integral, bestehend in der Tatsache aufzubauen, daß Bereich an der Stelle der Trennung auf einem Teil des Integranden bezeichnet, und dann die Integralsumme der Werte in diesen Teilen erhielten Kompilieren in Abständen seinen Wertebereich unterteilt, und dann mit den entsprechenden Maßnahmen inverse Bilder dieser Integrale aufsummiert.

moderne Hilfsmittel

Einer der wichtigsten Vorteile für das Studium der Differential- und Integralrechnung Fikhtengol'ts schrieb – „der Differential- und Integralrechnung.“ Sein Lehrbuch ist ein grundlegendes Instrument für das Studium der mathematischen Analyse, die viele Ausgaben und Übersetzungen in andere Sprachen überstanden. Geschaffen für Studenten und für eine lange Zeit in einer Vielzahl von Bildungseinrichtungen verwendet als einer der wichtigsten Vorteile der Studie. Es gibt theoretische Informationen und praktische Fähigkeiten. Zuerst im Jahr 1948 veröffentlicht.

Algorithmus Forschung Funktion

Um die Methoden der Differentialrechnung Funktion zu erkunden, müssen Sie folgen bereits gegebenen Algorithmus:

1. Finden Sie die Domäne der Funktion.
2. Suchen Sie nach den Wurzeln der gegebenen Gleichung.
3. Berechnen Sie die Extreme. Dazu berechnen wir die Ableitung und den Punkt, wo es gleich Null ist.
4. Wir ersetzen den Wert in Gl.

Sorten von Differentialgleichungen

Steuerung der ersten Ordnung (sonst Differentialrechnung einer Variablen) und deren Typen:

• Mit trennbaren Variablen Gleichung: f (y) dy = g (x) dx.
• Die einfachste Gleichung oder Differentialrechnung Funktion einer Variablen, mit der Formel: y ‚= f (x).
• Die lineare erste Ordnung ungleichmäßige Steuer: y ‚+ P (x) y = Q (x).
• Bernoulli – Differentialgleichung: y ‚+ P (x) y = Q (x) y ein.
• Gleichung Gesamtdifferentiale mit: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0 ist.

Die Differentialgleichungen zweiter Ordnung und deren Typen:

• Homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten ^{Koeffizienten: y n + py ‚+ qy} = 0 p, q gehört R.
• Inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten – ^{Wert: y n + py ‚+ qy} = f (x).
• Homogene lineare ^{Differentialgleichung: y n + p (x)} y '+ q (x) y = 0, und inhomogene ^Gleichung zweite ^{Ordnung: y n + p (x)} y' + q (x) y = f (x).

Differentialgleichungen höherer Ordnungen und deren Typen:

• Die Differentialgleichung, was eine Verringerung der ^{Reihenfolge: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• Eine lineare Gleichung höhere Ordnung ^{_{homogen: y (n) + f (}} n- ₁₎ , y ^(n-1) + … + f & _sub1 ; y ‚+ y f ₀ = 0 und ^{_{inhomogen: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + … + f & _sub1 ; y ‚+ f & _sub0 ; y = f (x).

Die Stufen der das Problem mit der Differentialgleichung lösen

Mit Hilfe der Fernbedienung ist nicht nur die Mathematik oder körperlichen Probleme gelöst, sondern auch die verschiedene Probleme der Biologie, Ökonomie, Soziologie und andere. Trotz der Vielzahl von Themen, sollte eine einzelne logische Sequenz folgen, um diese Probleme zu lösen:

1. Die Erstellung Kontrolle. Eines der schwierigsten Phasen, die maximale Genauigkeit erfordert, weil jeder Fehler zu völlig falschen Ergebnissen führen wird. Es ist notwendig, zu berücksichtigen, alle Faktoren, um den Prozess zu beeinflussen und Anfangsbedingungen zu bestimmen. Es soll auch auf Basis von Fakten und logischen Schlussfolgerungen werden.
2. Für das Lösen von Gleichungen. Dieser Prozess ist leichter auf den ersten Punkt, da sie nur die strikte Umsetzung der mathematischen Berechnungen erfordert.
3. Analyse und Auswertung der Ergebnisse. Abgeleitet Lösung sollte für die Installation von praktischem und theoretischen Wert des Ergebnisses beurteilt werden.

Ein Beispiel für die Verwendung von Differentialgleichungen in der Medizin

Mit der Fernbedienung auf dem Gebiet der Medizin wird bei der Konstruktion von epidemiologischen mathematischem Modell gefunden. Wir sollten nicht vergessen, dass diese Gleichungen auch in der Biologie und Chemie zu finden sind, die auf die Medizin der Nähe sind, da sie eine wichtige Rolle bei der Untersuchung der verschiedenen biologischen Populationen und chemischen Prozesse im menschlichen Körper spielt.

In diesem Beispiel kann die epidemische Ausbreitung der Infektion in einer isolierten Gemeinschaft behandelt werden. Die Bewohner werden in drei Typen unterteilt:

• Infizierte, die Anzahl von x (t), die von Individuen, Infektionsträgern bestand, von denen jede infektiös ist (Inkubationszeit ist kurz).
• Der zweite Typ umfasst anfällige Personen y (t) kann mit infizieren durch Kontakt infiziert werden.
• Der dritte Typ umfasst feuerfeste Individuen z (t), die aufgrund von Krankheit immun oder verloren ist.

Anzahl der Personen ständig, halte Geburt, natürliche Todesfälle und Migration werden nicht berücksichtigt. Im Kern werden zwei Hypothesen sein.

Prozent Krankheitsirgend Zeitpunkt gleich x (t) y (t) (basierend Annahme, auf der Theorie, dass die Zahl der Fälle im Verhältnis zu der Anzahl der Schnittpunkte zwischen den Patienten und ansprechenden Elementen, die in erster Näherung proportional zu x (t) y (t)), in daher ist die Anzahl der Fälle, nimmt zu, und die Zahl der anfälligen nimmt mit einer Rate, die durch die Formel ax (t) y (t) (a> 0) berechnet wird.

Anzahl der Nicht-Responder Tiere, die starben oder erworbene Immunität, mit einer Rate erhöht, die die Anzahl der Fälle proportional ist, bx (t) (b> 0).

Als Ergebnis können Sie ein Gleichungssystem mit allen drei Indikatoren auf der Grundlage seiner Schlussfolgerungen aufgebaut.

Beispiel Verwendung Ökonomie

Differentialrechnung wird häufig in der ökonomischen Analyse verwendet. Die Hauptaufgabe in der wirtschaftlichen Analyse gilt als die Untersuchung der Werte der Wirtschaft sein, die in der Form der Funktion aufgezeichnet werden. Es wird bei der Lösung von Problemen wie Veränderungen der Einkommenssteuererhöhungen sofort nach, Eintrittsgebühren, Änderungen der Einnahmen verwendet werden, wenn der Wert des Produkts zu ändern, in welchem Verhältnis kann im Ruhestand befindlichen Mitarbeiter mit neuen Geräten ausgetauscht werden. Zur Lösung dieser Probleme ist es erforderlich, eine Kommunikationsfunktion der ankommenden Variablen zu konstruieren, die, nachdem sie durch Differentialrechnung untersucht.

ist es oft notwendig, die optimale Leistung im wirtschaftlichen Bereich zu finden: ein Maximum an Produktivität, das höchste Einkommen, den geringsten Kosten und so weiter. Jede derartige Komponente ist eine Funktion von einem oder mehreren Argumenten. Zum Beispiel kann die Produktion in Abhängigkeit von Arbeit und Kapital in Betracht gezogen werden. In diesem Zusammenhang einen geeigneten Wert zu finden, kann zu finden, das Maximum oder Minimum einer Funktion von einem oder mehreren Variablen reduziert werden.

Solche Probleme schaffen, für die Differentialrechnung eine Klasse von Extremalaufgaben im wirtschaftlichen Bereich müssen. Wenn das Wirtschaftsindikator erforderlich ist, zu minimieren oder in Abhängigkeit von anderen Parametern zu maximieren, wird die Inkrement Verhältnis Maximale Punktfunktion auf die Argumente gegen Null gehen, wenn das Inkrement des Arguments auf Null tendiert. Andernfalls, wenn eine solche Einstellung zu einem bestimmten positiven oder negativen Wert tendiert, ist der angegebene Punkt nicht geeignet, da durch Erhöhung oder Verringerung kann das Argument abhängigen Wert in der gewünschten Richtung verändert werden. In Differentialrechnung Terminologie würde dies bedeuten, dass die geforderten Bedingungen für eine maximale Funktion ist ein Nullwert seines Derivats.

Die Wirtschaft ist nicht ungewöhnlich Problem des Extremum einer Funktion von mehreren Variablen zu finden, weil Wirtschaftsindikatoren aus vielen Faktoren gemacht werden. Solche Probleme werden in der Theorie der Funktionen von mehreren Variablen, die Methode der Berechnung der Differenz gut verstanden. Solche Probleme sind nicht nur die Funktion maximiert und minimiert, sondern auch Einschränkungen. Diese Fragen beziehen sich auf mathematische Programmierung, und sie sind mit der Hilfe von speziell entwickelten Methoden gelöst werden ebenfalls auf der Grundlage dieser Zweig der Wissenschaft.

Unter den Methoden der Analysis Differential in der Wirtschaft verwendet wird, ein wichtiger Abschnitt ist der ultimative Test. Im wirtschaftlichen Bereich bezieht sich der Begriff auf eine Reihe von Methoden der Forschung variabler Leistung und Ergebnisse, wenn Sie die Lautstärke der Schöpfung, den Verbrauch zu ändern, basierend auf einer Analyse ihrer Grenzwerte. Einschränkend betrachtet Derivat oder die partiellen Ableitungen mit mehreren Variablen.

Differentialrechnung mehrerer Variablen – ein wichtiges Thema der mathematischen Analyse. Für eine detaillierte Studie, können Sie eine Vielzahl von Lehrmitteln für Hochschulen verwenden. Einer der bekanntesten erstellt Fikhtengol'ts – „der Differential- und Integralrechnung.“ Wie viel des Namen für die Lösung von Differentialgleichungen von erheblicher Bedeutung, die Fähigkeiten zu haben, mit Integralen zu arbeiten. Wenn es eine Differentialrechnung von Funktionen einer Variablen ist, wird die Entscheidung leichter. Obwohl, sollte beachtet werden, folgt es den gleichen Grundregeln. In der Praxis die Funktion der Differentialrechnung zu untersuchen, folgen Sie einfach dem bereits bestehenden Algorithmus, der in der High School gegeben wird, und nur ein wenig kompliziert mit der Einführung neuer Variablen.