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Das unbestimmte Integral. Berechnung von unbestimmten Integralen

Eine der grundlegenden Abschnitte der mathematischen Analyse ist die Integralrechnung. Es deckt ein sehr breites Feld von Objekten, wobei die erste – es ist das unbestimmte Integral ist. Position steht es als ein Schlüssel, der noch in der High School ist eine zunehmende Anzahl von Perspektiven und Möglichkeiten offenbart, die höhere Mathematik beschreibt.

Aussehen

Auf den ersten Blick scheint es absolut integraler Bestandteil modern, aktuell, aber in der Praxis stellt sich heraus , dass er wieder im Jahre 1800 kam BC. Heimat offiziell Ägypten gilt als uns nicht erreichen früheren Beweise für seine Existenz. Es wegen des Mangels an Informationen, die ganze Zeit positionierte einfach als Phänomen. Er bestätigt erneut das Niveau der wissenschaftlichen Entwicklung der Völker jener Zeit. Schließlich wurden die Werke finden den antiken griechischen Mathematiker, aus dem 4. Jahrhundert vor Christus datiert. Sie beschreiben das Verfahren verwendet, wo das unbestimmte Integral, das Wesen von denen das Volumen oder der Fläche einer krummlinigen Form zu finden (dreidimensionale und zweidimensionale Ebene, jeweils). Berechnung nach dem Prinzip der Unterteilung der ursprünglichen Abbildung in infinitesimale Komponenten basieren, vorausgesetzt, dass das Volumen (Fläche), die bereits auf sie bekannt ist. Im Laufe der Zeit hat sich das Verfahren gezüchtet, verwendet Archimedes sie den Bereich einer Parabel zu finden. Ähnliche Berechnungen zur gleichen Zeit Übungen im alten China zu führen, wo sie völlig unabhängig von der griechischen Kolleginnen und Wissenschaft waren.

Entwicklung

Der nächste Durchbruch im XI Jahrhundert vor Christus wird die Arbeit des arabischen Gelehrten worden „wagon“ Abu Ali al-Basri, der die Grenzen des bereits bekannten geschoben wurden aus der integralen Formel abgeleitet für die Berechnung der Summen der Mengen und Grade von dem ersten bis vierten, für das uns bekannte Anwendung Induktionsverfahren.
Köpfe heute bewundert die alten Ägypter die erstaunlichen Denkmäler ohne Spezialwerkzeug erstellt, ausgenommen von ihren eigenen Händen, aber ist nicht eine Macht verrückten Wissenschaftlern der Zeit nicht weniger ein Wunder? Im Vergleich mit den aktuellen Zeiten ihr Lebens scheint fast primitiv, aber die Entscheidung von unbestimmten Integralen überall abgeleitete und für die weitere Entwicklung in der Praxis eingesetzt.

Der nächste Schritt fand im sechzehnten Jahrhundert, als der italienische Mathematiker Cavalieri unteilbar Methode gebracht, die aufgenommen Per Ferma. Diese beide Persönlichkeit legte den Grundstein für die moderne Integralrechnung, die zur Zeit bekannt ist. Sie banden die Konzepte der Differenzierung und Integration, die bisher als eigenständige Einheiten zu sehen waren. Im Großen und Ganzen war die Mathematik dieser Zeit fragmentierten Teilchen Erkenntnisse für sich existieren, mit begrenztem Nutzen. Art und Weise zu vereinen und eine gemeinsame Grundlage zu finden war der einzige im Moment wahr, dank ihm die moderne mathematische Analyse die Möglichkeit hatte , zu wachsen und sich zu entwickeln.

Im Laufe der Zeit ändert sich alles und das Integral Symbol als auch. Im Großen und Ganzen war es Wissenschaftler benannt, der in seiner eigenen Art und Weise, zum Beispiel Newton ein quadratisches Symbol verwendet wird, die eine integrierbare Funktion setzen oder einfach zusammen. Diese Ungleichheit dauerte bis zum XVII Jahrhundert, als ein Wahrzeichen für die ganze Theorie der mathematischen Analyse Wissenschaftler Gotfrid Leybnits eingeführt, um ein Zeichen uns vertraut. Längliche „S“ auf diesen Brief tatsächlich basiert der lateinischen Alphabets, da die Summe von Primitiven bezeichnet. Der Name des Integral erhalten dank Jakob Bernoulli, nach 15 Jahren.

Die formale Definition

Das unbestimmte Integral hängt von der Definition der primitiven, so halten wir es in erster Linie.

Antiderivative – ist die Umkehrfunktion des Derivats, in der Praxis ist es primitiv genannt wird. Ansonsten: primitive Funktion von d – ist eine Funktion D, die die Ableitung v ist V ‚= V. Suchen primitiv ist das unbestimmte Integral zu berechnen, und der Prozess selbst wird Integration genannt.

Beispiel:

Die Funktion S (y) = y 3, und die primitive S (y) = (y 4/4).

Die Menge aller Primitiven der Funktion – dies ein unbestimmtes Integral ist, bezeichnet es, wie folgt: ∫V (x) dx.

Aufgrund der Tatsache, dass V (x) – sind nur einige primitive ursprüngliche Funktion, Ausdruck gilt: ∫V (x) dx = V (x) + C, wobei C – konstant. Unter der willkürlichen Konstante bezieht sich auf jeden konstant, da ihre Ableitung Null ist.

Eigenschaften

Die Eigenschaften, die durch das unbestimmte Integral besitzt, im Wesentlichen basierend auf der Definition und Eigenschaften von Derivaten einsetzen.
Betrachten Sie die wichtigsten Punkte:

  • Integral-Differential des Primitiv ist primitiv selbst plus eine beliebige Konstante C ∫V ‚(x) dx = V (x) + C;
  • Ableitung des Integrals einer Funktion ist die ursprüngliche Funktion (∫V (x) dx) ‚= v (x);
  • Konstante wird unter dem Integralzeichen entnommen ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, wobei k – ist beliebig;
  • integral, die sich aus der Summe der identisch gleich der Summe der Integrale ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫V (y) dy + ∫w (y) dy genommen wird.

Die letzten beiden Eigenschaften kann geschlossen werden, dass das unbestimmte Integral linear ist. Aus diesem Grund haben wir: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Um zu sehen, Beispiele für Lösungen unbestimmte Integrale Fixierung.

Sie müssen das Integral ∫ (3sinx + 4cosx) dx finden:

  • ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx – 3cosx + C.

Aus dem Beispiel können wir feststellen, dass Sie nicht wissen, wie unbestimmte Integrale zu lösen? Finden Sie einfach alle Primitiven! Doch die Suche nach den Prinzipien unten diskutiert.

Methoden und Beispiele

Um das Integral zu lösen, können Sie auf die folgenden Methoden zurückgreifen:

  • bereit, die Vorteile der Tabelle zu übernehmen;
  • Partielle Integration;
  • integriert, indem die Variable ersetzt wird;
  • Summieren unter dem Vorzeichen des Differenz auf.

Tabellen

Die einfachste und bequemste Weg. Im Moment kann die mathematische Analyse rühmt recht umfangreiche Tabellen, die die Grundformel von unbestimmten Integralen buchstabierten. Mit anderen Worten gibt es Vorlagen Sie abgeleitet und Sie können nur sie nutzen. Hier ist die Liste der wichtigsten Tabellenpositionen, die praktisch jede Instanz angezeigt werden kann, hat eine Lösung:

  • ∫0dy = C, wobei C – konstant;
  • ∫dy = y + C, wobei C – konstant;
  • ∫y n dy = (y n + 1) / (n + 1) + C, wobei C – eine Konstante ist , und n – Anzahl verschieden von der Einheit;
  • ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, wobei C – konstant;
  • ∫e y dy = e y + C , wobei C – konstant;
  • ∫k y dy = (k y / ln k) + C, wobei C – konstant;
  • ∫cosydy = siny + C, wobei C – konstant;
  • ∫sinydy = -cosy + C, wobei C – konstant;
  • ∫dy / cos 2 y = TGY + C, wobei C – konstant;
  • ∫dy / sin 2 y = -ctgy + C, wobei C – konstant;
  • ∫dy / (1 + y 2) = arctgy + C, wobei C – konstant;
  • ∫chydy = shy + C, wobei C – konstant;
  • ∫shydy = chy + C, wobei C – konstant.

Wenn nötig, machen ein paar Schritte Integra zu einer tabellarischen Ansicht führen und den Sieg genießen. BEISPIEL: ∫cos (5 × -2) dx = 1 / 5∫cos (5x – 2) d (5x – 2) = 1/5 x sin (5x – 2) + C.

änderte sich nicht nach der Entscheidung ist klar, dass zum Beispiel eine Tabelle Integra Multiplikator fehlt 5. Wir es mit dieser Vervielfachungs von 1/5 bis allgemeine Ausdruck parallel hinzuzufügen.

Partielle Integration

Betrachten wir zwei Funktionen – z (y) und x (y). Sie müssen auf seiner Domäne stetig differenzierbar. In einer Differenzierungseigenschaften haben wir: d (xz) = xdz + zdx. Die Integration beider Seiten erhalten wir: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

Umschreiben der resultierende Gleichung, erhalten wir die Formel, die die Methode der partiellen Integration beschreibt: ∫zdx = zx – ∫xdz.

Warum ist es notwendig? Die Tatsache, dass einige der Beispiele es möglich ist, zu vereinfachen, sagen wir mal, ∫zdx ∫xdz zu reduzieren, wenn dieser in die tabellarische Form nahe. Auch kann diese Formel mehr als einmal verwendet werden, für optimale Ergebnisse.

Wie unbestimmte Integrale auf diese Weise zu lösen:

  • notwendig ∫ (s + 1) e 2s ds zu berechnen

∫ (x + 1) e 2s ds = {z = s + 1, dz = ds, y 1 / 2e = 2s, dy = e 2 x ds} = ((s + 1) e 2s) / 2-1 / 2 ∫e 2s dx = ((n + 1) e 2s) / 2-e 2s / 4 + C;

  • muss berechnen ∫lnsds

∫lnsds = {z = LNS, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = SLNs – ∫S x ds / s = SLNs – ∫ds = SLNs es + C = s (LNS-1) + C.

Ersetzen Sie die Variable

Dieses Prinzip der unbestimmte Integrale zu lösen sind nicht weniger gefragt als die beiden vorhergehenden, obwohl kompliziert. Das Verfahren ist wie folgt: Es sei V (x) – das Integral einer Funktion V (x). In dem Fall, dass in mir integral in Beispiel slozhnosochinenny kommt, ist wahrscheinlich verwirrt zu bekommen und die falschen Pfad Lösungen gehen. Um zu vermeiden, diese Praxis Änderung von der Variablen x zu z, in der der allgemeine Ausdruck visuell vereinfacht und dabei die Aufrechterhaltung z auf x abhängig.

Mathematisch ausgedrückt ist dies wie folgt: ∫V (x) dx = ∫V (y (z)) y ‚(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), wobei x = y ( z) – Substitution. Und, natürlich, die inverse Funktion z = y 1 (x) beschreibt vollständig die Beziehung und die Beziehung von Variablen. Wichtiger Hinweis – das Differential dx unbedingt mit einem neuen Differential dz ersetzt, da die Änderung der Variablen in dem unbestimmten Integral beinhaltet es ersetzt überall, nicht nur im Integra.

Beispiel:

  • finden müssen ∫ (n + 1) / (s 2 + 2s – 5) ds

Gilt die Substitution z = (n + 1) / (s 2 + 2s-5). Dann dz = 2sds = 2 + 2 (n + 1) ds (n + 1) ds = dz / 2. Als Ergebnis der folgende Ausdruck, die sehr einfach zu berechnen:

∫ (n + 1) / (s 2 + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / Z = 1 / 2LN | z | + C = 1 / 2LN | s 2 + 2s-5 | + C;

  • Sie müssen das Integral finden ∫2 s e s dx

Um das Umschreiben in folgenden Form zu lösen:

∫2 s e s ds = ∫ ( 2e) s ds.

Wir bezeichnen mit a = 2e (Ersatz des Arguments ist dieser Schritt nicht, es ist immer noch s), geben wir unser scheinbar komplizierte integralen Bestandteil Grunde tabellarische Form:

∫ (2e) s ds = ∫a s ds = a s / LNA + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 s e s / ln (2 + LNE) + C = 2 s e s / (LN2 + 1) + C.

Zusammengefasst ein Differential Zeichen

Im Großen und Ganzen ist diese Methode der unbestimmten Integrale – der Zwillingsbruder des Prinzips der Änderung der Variablen, aber es gibt Unterschiede in dem Prozess der Registrierung. Lassen Sie uns genauer betrachten.

Wenn ∫V (x) dx = V (x) + C und y = z (x) ist, dann ∫V (y) dy = V (y) + C.

Zugleich müssen wir die trivialen Integraltransformationen nicht vergessen, unter anderem:

  • dx = d (x + a), und wobei – jede Konstante;
  • dx = (1 / a) d (ax + b), wobei a – Konstante wieder, aber nicht Null ist;
  • xdx = 1 / 2d (x 2 + b);
  • sinxdx = -d (cosx);
  • cosxdx = d (sin x).

Wenn wir den allgemeinen Fall betrachtet, in dem wir die unbestimmten Integral berechnen, kann beispielsweise unter der allgemeinen Formel W ‚(x) dx = dw (x) subsumiert werden.

Beispiele:

  • finden müssen ∫ (2s + 3) 2 ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) 2 = 1 ds / 2∫ (2s + 3) 2 d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) 2) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) 2 + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (COSS) / coss = -ln | coss | + C.

Online-Hilfe

In einigen Fällen kann der Fehler, von denen sich oder Faulheit oder einem dringenden Bedarf, können Sie die Online-Eingabeaufforderungen verwenden, oder besser gesagt, einen Rechner unbestimmte Integrale zu verwenden. Trotz der scheinbaren Komplexität und Brisanz der Integrale ist die Entscheidung vorbehaltlich ihren spezifischen Algorithmus, der auf dem Prinzip der basierte „wenn Sie nicht … dann …“.

Natürlich wird kein besonders komplizierte Beispiele für einen solchen Rechner beherrschen, da es Fälle gibt, in denen eine Entscheidung ein künstlich durch die Einführung bestimmter Elemente in dem Prozess „gezwungen“ zu finden ist, weil die Ergebnisse offensichtliche Wege zu erreichen sind. Trotz der Brisanz dieser Aussage ist es wahr, wie die Mathematik im Prinzip eine abstrakte Wissenschaft, und ihr vorrangiges Ziel betrachtet die Notwendigkeit, die Grenzen zu stärken. Denn für einen reibungslosen Ablauf in den Theorien sehr schwierig ist, sich zu bewegen und sich entwickeln, also nicht davon ausgehen, dass die Beispiele für unbestimmte Integrale zu lösen, die uns gegeben hat – das ist die Höhe der Möglichkeiten ist. Aber zurück zu der technischen Seite der Dinge. Zumindest die Berechnungen zu überprüfen, können Sie den Dienst verwenden, in denen es wurde uns geschrieben. Wenn es eine Notwendigkeit für die automatische Berechnung von komplexen Ausdrücken ist, dann müssen sie nicht zu einer ernsteren Software zurückgreifen. Sollte achten in erster Linie auf die Umwelt Matlab.

Anwendung

Die Entscheidung von unbestimmten Integralen auf dem ersten Blick scheint von der Realität völlig losgelöst, weil es schwierig ist, die offensichtliche Verwendung der Ebene zu sehen. Tatsächlich nutzen sie direkt überall kann man nicht, aber sie sind ein notwendige Zwischenelement in dem Prozess der Entnahme von Lösungen in der Praxis eingesetzt. So beteiligt sich die Integration von Back Differenzierung, also aktiv in den Prozess Gleichungen zu lösen.
Im Gegenzug haben diese Gleichungen einen direkten Einfluss auf die Entscheidung der mechanischen Probleme, Bahnberechnung und Wärmeleitfähigkeit – kurz gesagt, alles, was die Gegenwart und die Gestaltung der Zukunft darstellt. Unbestimmtes Integral, Beispiele, von denen wir oben betrachtet haben, nur auf den ersten Blick trivial, als Basis immer wieder neue Entdeckungen auszuführen.