Was sind rationale Zahlen? Was sind sie?

Was sind rationale Zahlen? Senioren und Studenten von mathematischen Spezialitäten, wahrscheinlich, werden diese Frage leicht beantworten. Aber diejenigen, die von Beruf weit davon entfernt sind, werden schwieriger sein. Wie ist es wirklich?

Das Wesen und die Bezeichnung

Durch rationale Zahlen sind diejenigen gemeint, die als gewöhnlicher Bruch dargestellt werden können. Positiv, Negativ und auch Null kommen auch in diesen Satz ein. Der Zähler einer Fraktion muss eine ganze Zahl sein, und der Nenner muss eine natürliche Zahl sein.

Dieser Satz in Mathematik wird als Q bezeichnet und heißt das "Feld der rationalen Zahlen". Es gibt alle ganzzahligen und natürlichen, die jeweils als Z und N bezeichnet werden. Die gleiche Menge Q tritt in die Menge R. Es ist dieser Buchstabe, der so genannte reelle oder reelle Zahlen bezeichnet.

Einleitung

Wie bereits erwähnt, sind rationale Zahlen ein Satz, in den alle ganzzahligen und fraktionalen Werte eintreten. Sie können in verschiedenen Formen präsentiert werden. Zuerst in Form von gewöhnlichen Brüchen: 5/7, 1/5, 11/15 usw. Natürlich können auch ganze Zahlen in ähnlicher Form geschrieben werden: 6/2, 15/5, 0/1, – 10/2 usw. Zweitens ist eine andere Darstellungsart eine Dezimalfraktion mit einem endlichen Bruchteil: 0,01, -15,001006 usw. Dies ist vielleicht eine der am häufigsten angetroffenen Formen.

Aber es gibt auch ein Drittel – eine periodische Fraktion. Diese Art ist nicht sehr verbreitet, aber es wird immer noch benutzt. Zum Beispiel kann ein Bruchteil von 10/3 als 3.33333 … oder 3, (3) geschrieben werden. In diesem Fall werden verschiedene Darstellungen als analoge Zahlen betrachtet. Äquivalente Fraktionen, z. B. 3/5 und 6/10, werden ebenfalls genannt. Es scheint, dass klar wurde, welche rationalen Zahlen sind. Aber warum benutze diesen Begriff für ihre Bezeichnung?

Herkunft des Namens

Das Wort "rational" im modernen Russisch hat in der Regel eine etwas andere Bedeutung. Es ist eher "vernünftig", "bewusst". Aber mathematische Begriffe sind nahe an der direkten Bedeutung dieses geliehenen Wortes. Im Lateinischen ist "Verhältnis" eine "Relation", "Fraktion" oder "Division". So spiegelt der Name das Wesen dessen, was rationale Zahlen sind. Der zweite Wert ist jedoch Nicht weit von der wahrheit

Aktionen mit ihnen

Bei der Lösung mathematischer Probleme sind wir ständig mit rationalen Zahlen konfrontiert, ohne es selbst zu kennen. Und sie haben eine Reihe von interessanten Eigenschaften. Sie alle folgen entweder aus der Definition eines Satzes oder aus Handlungen.

Zuerst haben rationale Zahlen das Eigentum einer Auftragsbeziehung. Das bedeutet, dass zwischen den beiden Zahlen nur eine Relation existieren kann – sie sind entweder gleich, oder man ist größer oder kleiner als die andere. E:

Entweder a = b; Entweder a> b oder a <b.

Darüber hinaus bedeutet diese Eigenschaft auch die Transitivität der Relation. Das heißt, wenn a größer als b ist , b größer als c ist , dann ist a größer als c . In der Sprache der Mathematik sieht es so aus:

(A> b) ^ (b> c) => (a> c).

Zweitens gibt es arithmetische Operationen mit rationalen Zahlen, dh Addition, Subtraktion, Division und natürlich Multiplikation. Dabei kann auch eine Reihe von Eigenschaften im Transformationsprozess unterschieden werden.

• A + b = b + a (Ortswechsel, Kommutativität);
• 0 + a = a + 0;
• (A + b) + c = a + (b + c) (Assoziativität);
• A + (-a) = 0;
• Ab = ba;
• (Ab) c = a (bc) (Verteilungsfähigkeit);
• Ax 1 = 1 xa = a;
• Ax (1 / a) = 1 (mit einem ungleich 0);
• (A + b) c = ac + ab;
• (A> b) ^ (c > 0) => (ac> bc).

Wenn es um gewöhnliche, anstatt dezimale, Bruchteile oder ganze Zahlen geht, können Handlungen mit ihnen bestimmte Schwierigkeiten verursachen. Somit sind Addition und Subtraktion nur möglich, wenn die Nenner gleich sind. Wenn sie anfänglich anders sind, sollten Sie eine gemeinsame, mit der Multiplikation der gesamten Fraktion durch bestimmte Zahlen zu finden. Ein Vergleich ist auch nur möglich, wenn diese Bedingung erfüllt ist.

Die Aufteilung und Vervielfältigung der gewöhnlichen Bruchteile erfolgt nach recht einfachen Regeln. Eine Reduktion auf den gemeinsamen Nenner ist nicht notwendig. Die Zähler und Nenner werden separat vervielfacht, während bei der Durchführung der Aktion, wenn möglich, der Bruch möglichst minimiert und vereinfacht werden sollte.

Wie für die Division, ist diese Aktion ähnlich der ersten mit einem kleinen Unterschied. Für die zweite Fraktion, finden Sie die umgekehrte, das heißt "Drehen Sie es". Somit muss der Zähler der ersten Fraktion mit dem zweiten Nenner und umgekehrt multipliziert werden.

Schließlich wird eine andere Eigenschaft, die mit rationalen Zahlen verbunden ist, das archimedische Axiom genannt. Oft in der Literatur gibt es auch den Namen "Prinzip". Es gilt für den ganzen Satz reeller Zahlen, aber nicht überall. So gilt dieses Prinzip nicht für bestimmte Sätze rationaler Funktionen. Im Wesentlichen bedeutet dieses Axiom, dass, wenn es zwei Größen a und b gibt, man immer eine ausreichende Anzahl von a nehmen kann, um b zu überschreiten.

Anwendungsgebiet

Also, diejenigen, die gelernt haben oder sich erinnern, was rationale Zahlen sind, wird klar, dass sie überall verwendet werden: in Buchhaltung, Wirtschaft, Statistik, Physik, Chemie und anderen Wissenschaften. Natürlich haben sie auch einen Platz in der Mathematik. Nicht immer wissen, dass wir mit ihnen zu tun haben, verwenden wir ständig rationale Zahlen. Noch kleine Kinder, lernen, Objekte zu zählen, einen Apfel in Stücke zu schneiden oder andere einfache Handlungen auszuführen, sie zu sehen. Sie umgeben uns buchstäblich. Trotzdem reichen sie nicht aus, um einige Probleme zu lösen, insbesondere durch das Beispiel des Satzes von Pythagoras kann man die Notwendigkeit verstehen, den Begriff der irrationalen Zahlen einzuführen .