Georg Cantor: Mengenlehre, Biografie und Familie math

Georg Cantor (Foto zeigt später im Artikel) – deutscher Mathematiker, der die Theorie der Sätze entwickelt und das Konzept der transfiniten Zahlen, unendlich groß, aber voneinander verschieden. Er gab auch eine Definition der Ordnungs und Kardinalzahlen und gründeten ihre Arithmetik.

Georg Cantor: eine kurze Biographie

Geboren in St. Petersburg 1845.03.03. Sein Vater war ein dänischer Protestant Georg Waldemar Cantor, wurde im Handel, in Vol. H. und an der Börse. Seine Mutter, Maria, war Bem katholisch und stammte aus einer Familie von prominenten Musikern. Als im Jahr 1856 George sein Vater krank wurde, zog die Familie auf der Suche nach einem milderen Klima zuerst nach Wiesbaden dann nach Frankfurt. Mathematische Begabung, erschien der Junge vor seinem 15. Geburtstag, während in der Privatschulen und öffentlichen Schulen in Darmstadt und Wiesbaden zu studieren. Am Ende überzeugte Georg Cantor seinen Vater in seiner Entschlossenheit, ein Mathematiker zu werden, eher als ein Ingenieur.

Nach einer kurzen Ausbildung an der Universität Zürich im Jahr 1863. Cantor wurde nach Berlin Universität überträgt Physik, Philosophie und Mathematik zu studieren. Dort wurde er lehrt:

• Karl Theodor Weierstraß, deren Spezialisierung in der Analyse, hatte wahrscheinlich den größten Einfluss auf George;
• Ernst Kummer, der die höchste Arithmetik gelehrt;
• Leopold Kronecker, auf der Zahlentheorie Spezialisten, den Cantor später gegenüber.

ein Semester an der Universität Göttingen im Jahr 1866, im nächsten Jahr George schrieb seine Doktorarbeit unter dem Titel „In der Mathematik, die Kunst der Fragen zu stellen ist mehr wert als die Lösung von Problemen“ in Bezug auf das Problem, dass Carl Friedrich Gauss ungelöst in seinem Disquisitiones Arithmeticae (1801) verbracht hat . Kantor Nach kurzem für Mädchen an der Berliner Schule Unterricht begann an der Universität Halle arbeiten, wo er bis zum Ende seines Lebens blieb, zunächst als Dozent, seit 1872 als Assistenzprofessor und seit 1879 die erste als Professor.

Forschung

Zu Beginn einer Serie von 10 Werken von 1869 bis 1873, als Georg Cantor die Theorie der Zahlen. Die Arbeit spiegelt die Leidenschaft für das Thema seiner Studie und die Wirkung von Gauss Kronecker. Auf Anregung von Heinrich Eduard Heine, Cantors Kollegen in Halle, der seine mathematische Begabung erkannte, wandte er sich an die Theorie der trigonometrischen Reihen, die das Konzept der reellen Zahlen erweitert.

Basierend auf der Arbeit Funktion einer komplexen Variablen der deutschen Mathematiker Bernhard Riemann 1854, 1870 Cantor hat gezeigt, dass eine solche Funktion in nur einer Art und Weise dargestellt werden können – durch trigonometrische Reihe. Die Prüfung des Satzes von Zahlen (Punkte), die diese Ansicht nicht widersprechen würde, führte ihn an erster Stelle, im Jahr 1872, auf die Definition der irrationalen Zahlen in Bezug auf den konvergenten Folgen von rationalen Zahlen (Fraktionen von ganzen Zahlen) und dann zu Beginn der Arbeit an seinem Lebenswerk, Mengenlehre und das Konzept der transfiniter Zahlen.

Mengenlehre

Georg Cantor, die Theorie, die in Übereinstimmung mit der Technischen Hochschule Braunschweig Mathematiker Richard Dedekind entsteht setzt, war mit ihm befreundet seit ihrer Kindheit. Sie schlossen daraus, dass die Sätze, endlich oder unendlich, sind eine Vielzahl von Elementen (beispielsweise Zahlen {0, ± 1, ± 2 …}), die eine bestimmte Eigenschaft hat, während ihre Individualität beibehalten wird. Aber wenn Georg Cantor angewandt ihre Eigenschaften eine Entsprechung zu studieren (zB {A, B, C} {1, 2, 3}), erkannte er schnell, dass sie in ihrem Grad der Zugehörigkeit unterscheiden, auch wenn es unendliche Mengen waren , t. h. Standardsituation oder eine Untergruppe, welche die gleiche Anzahl von Objekten enthält, wie sie selbst ist. Seine Methode bald gab erstaunliche Ergebnisse.

Im Jahr 1873 zeigte Georg Cantor (Mathematiker), die rationalen Zahlen, wenn auch unendlich, zählbar sind, weil sie in einer Eins-zu-Eins-Korrespondenz gesetzt werden können mit natürlichem (d. E. 1, 2, 3 ,. D.). Er zeigte, dass die Menge der reellen Zahlen, bestehend aus einem rationalen und irrationalen, und unzählbar unendlich. Was für ein Paradox, erwies sich Cantor, dass die Menge aller algebraischen Zahlen so viele Elemente wie die Menge aller ganzen Zahlen enthält, und das transzendente Zahlen, die nicht algebraisch sind, die eine Teilmenge der irrationalen Zahlen sind, ist unzählbar und damit deren Zahl größer ist als die ganzen Zahlen und sollte als unendlich betrachtet werden.

Gegner und Befürworter

Aber die Arbeit Cantor, in dem er zunächst die Ergebnisse vorbringen, nicht in „Krell“ -Magazin veröffentlicht wurde als einer der Gutachter wurde Kronecker gegenüber. Aber nach dem Eingreifen der Dedekind wurde im Jahre 1874 unter dem Titel „Die Eigenschaften aller reellen algebraischen Zahlen.“

Wissenschaft und Privatleben

Im selben Jahr, während der Flitterwochen mit seiner Frau Valli Gutman in Interlaken, Schweiz, traf Cantor Dedekind, der auf seiner neuen Theorie freundlich kommentiert. George Gehalt war klein, aber mit dem Geld seines Vater, der im Jahr 1863 starb, hatte er für seine Frau und fünf Kinder zu Hause gebaut. Viele seiner Werke wurden in Schweden in der neuen Zeitschrift Acta Mathematica, der Herausgeber und Gründer davon war Gösta Mittag-Leffler, unter den ersten zu erkennen, das Talent des deutschen Mathematiker veröffentlicht.

Die Kommunikation mit der Metaphysik

Theorie Cantor war völlig neues Thema der Forschung Mathematik unendlich Zusammenhang (beispielsweise die Sequenz 1, 2, 3 ,. D., und komplexere Sätze), die auf einer Eins-zu-Eins-Entsprechung weitgehend abhängig ist. Cantor Entwicklung neuer Methoden der Einstellung Fragen zur Kontinuität und Unendlichkeit lieh seine Studien gemischt.

Als er argumentiert, dass unendlich viele wirklich existieren, wandte er sich an die antike und mittelalterliche Philosophie im Hinblick auf die Unendlichkeit tatsächlichen und potentiellen sowie dem frühen religiöse Erziehung, die Eltern ihm gab. Im Jahr 1883 in seinem Buch „Grundlagen der allgemeinen Theorie der Sätze“ kombiniert Kantor sein Konzept der Metaphysik von Plato.

Kronecker auch, der behauptet, dass „es“ nur ganze Zahlen ( „Gott die ganzen Zahlen geschaffen, der Rest – das Werk des Menschen“), seit vielen Jahren abgelehnt stark seine Argumente und verhinderte seine Berufung an die Universität Berlin.

transfiniter Zahlen

In 1895-1897 gg. Georg Cantor voll seine Vorstellung von Kontinuität und Unendlichkeit gebildet, darunter eine endlose Folge und Kardinalzahlen, in seinem berühmtesten Werk, veröffentlicht unter dem Titel „Beitrag zur Theorie der transfiniten Zahlen“ (1915). Diese Arbeit beinhaltet seine Vorstellung, zu dem er eine Demonstration führte, die eine unendliche Menge kann in einer Eins-zu-Eins-Entsprechung mit einem seinen Teilmengen geliefert werden.

Die kleinste transfiniter Kardinalzahl bedeutete, dass er die Macht jeden Satz, die in einer Eins-zu-Eins-Entsprechung mit den natürlichen Zahlen gesetzt werden können. Kantor beschrieb seine Aleph-Null. Große transfiniter Mehrzahl Alef-gekennzeichneter einen, zwei oder Alef-t. D. Es weitere arithmetische ordinals entwickelt, die an die Finite-Arithmetik ähnlich war. So hat er den Begriff der Unendlichkeit bereichert.

Die Opposition er konfrontiert, und die Zeit, die sicherstellen, nahm an, dass seine Ideen voll akzeptiert wurden, erklärt die Komplexität der Neubewertung der alten Frage, was die Zahl. Kantor zeigte, dass eine Reihe von Punkten auf der Linie eine höhere Kapazität als Alef-Null hat. Dies führte zu dem bekannten Problem der Kontinuumshypothese – keine Kardinäle zwischen Aleph-Null und keine Leistungspunkten auf der Linie. Dieses Problem wird in der ersten und zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts ist von großen Interesse und wird von vielen Mathematikern, in Vol. H. Kurt Gödel und Paul Cohen untersucht worden.

Depression

Biographie Georga Kantora von 1884 wurde durch seine beginnende Geisteskrankheit getrübt, aber er weiterhin aktiv zu arbeiten. Im Jahr 1897 half er den ersten Internationalen Kongress der Mathematiker in Zürich zu halten. Teilweise, weil er die Kronecker gegenüber, sympathisierte er oft mit dem jungen angehenden Mathematiker und versuchte, einen Weg zu finden, um sie von den Lehrern von Belästigung zu retten, die durch neue Ideen bedroht fühlen.

Anerkennung

An der Wende des Jahrhunderts wurde seine Arbeit in vollem Umfang als Grundlage für die Theorie der Funktionen, Analyse und Topologie erkannt. Darüber hinaus diente Kantora Georga Buch als Anstoß für die weitere Entwicklung der formalistischen und intuitionist Schule der logischen Grundlagen der Mathematik. Dies hat wesentlich das System der Lehre verändert und wird oft mit der zugehörigen „neuen Mathematik“.

Im Jahr 1911 war Cantor die unter der Feier des 500. Jahrestages der University of St. Andrews in Schottland eingeladen. Er ging dort die Hoffnung, Bertrand Russell, der in seiner kürzlich veröffentlichten Arbeit Principia Mathematica immer wieder auf den deutschen Mathematiker bezeichnete gerecht zu werden, aber das ist nicht geschehen. Universität verliehen Cantor einen Ehrentitel, aber wegen Krankheit war er nicht in der Lage, den Preis persönlich zu übernehmen.

Cantor im Jahr 1913 im Ruhestand und lebte in Armut und während des Ersten Weltkrieges am Verhungern. Fest zu Ehren seines 70. Geburtstages im Jahre 1915 wurden wegen des Krieges abgesagt, aber eine kleine Zeremonie wurde in seinem Haus gehalten. Er starb am 1918.01.06, in Galle, in einem psychiatrischen Krankenhaus, wo er die letzten Jahre seines Lebens verbrachte.

Georg Cantor: A Biography. Familie

9. August 1874, der deutsche Mathematiker verheiratet Valli Gutman. Das Paar hatte vier Söhne und zwei Töchter. Das letzte Kind wurde 1886 geboren in Cantor ein neues Zuhause gekauft. Unterstützen Sie die Familie, die er das Erbe seines Vaters half. Die Gesundheit von Cantor stark beeinflusst den Tod seines jüngsten Sohnes im Jahre 1899 -, da sie nie die Depression verlassen.