Geometrische Progression. Beispiel zur Entscheidung

Betrachten wir eine Reihe.

7 28 112 448 1792 …

Ganz zeigt deutlich, dass der Wert eines seiner Elemente mehr als die bisherigen genau viermal. So ist diese Serie eine Progression.

geometrische Progression genannt unendliche Folge von Zahlen, ist das Hauptmerkmal davon, dass die folgende Zahl aus der oben erhaltenen wird durch durch eine bestimmte Zahl multipliziert wird. Dies wird durch die folgende Formel ausgedrückt.

_{a z +1 = a · z q} , wobei Z – Nummer des ausgewählten Elements.

Dementsprechend z ∈ N.

Eine Zeit, in der Schule geometrische Progression untersucht – 9.e Klasse. Beispiele helfen das Konzept zu verstehen:

0,25 0,125 0,0625 …

18 6. Februar …

Auf der Grundlage dieser Formel kann der Verlauf des Nenners gefunden werden, wie folgt:

Weder q, oder b , _Z nicht gleich Null sein. Auch jedes der Elemente aus einer Reihe von Zahlen Progression soll nicht Null sein.

Dementsprechend ist die nächste Nummer einer Zahl zu sehen, wobei letztere durch q multipliziert werden.

Um diese Progression zu definieren, müssen Sie das erste Element davon spezifizieren und den Nenner. Danach ist es möglich, eine der folgenden Mitglieder und deren Menge zu finden.

Spezies

Je nach q und einem ₁ ist dieser Verlauf in verschiedene Typen unterteilt:

• Wenn ein ₁ und q größer als eins ist , dann eine Folge – mit jedem aufeinanderfolgenden Element einer geometrischen Progression erhöht wird . Beispiele hierfür sind nachstehend aufgeführt.

Beispiel: a ₁ = 3, q = 2 – größer als eins, beide Parameter.

Dann kann eine Folge von Zahlen geschrieben werden als:

3 6 12 24 48 …

• Wenn | q | weniger als eins, das heißt, ist es zu einer Multiplikation mit Teilung äquivalent, die Progression mit ähnlichen Bedingungen – geometrischer Progression abnimmt. Beispiele hierfür sind nachstehend aufgeführt.

Beispiel: a ₁ = 6, q = 1/3 – a ₁ größer als eins ist , q – weniger.

Dann kann eine Folge von Zahlen wie folgt geschrieben werden:

2. Juni 2/3 … – jedes Element mehr Elemente folgende es ist 3 mal.

• Wechsel. Wenn q <0 ist , die Vorzeichen der Zahlen der Folge abwechselnd stetig unabhängig von einer ₁ und die Elemente jeder erhöhen oder verringern.

Beispiel: a ₁ = -3, q = -2 – sind beide kleiner als Null ist .

Dann kann eine Folge von Zahlen geschrieben werden als:

3, 6, -12, 24, …

Formel

Für die komfortable Nutzung gibt es viele geometrische Progressionen der Formeln:

• Formel Z-te Term. Es erlaubt die Berechnung des Elements in einer bestimmten Anzahl ohne vorherige Zahlen berechnet wird.

Beispiel: q = 3, a = ₁ 4. eine vierte Element Progression zur Berechnung erforderlich.

Lösung: a = ₄ 4 3 · ^4-1 · 3 = 4 ³ = 4 · 27 = 108.

• Die Summe der ersten Elemente, deren Anzahl gleich z. Es ermöglicht die Berechnung der Summe aller Elemente in einer Sequenz zu einem _z inklusive.

≠ 0 ist , so ist q nicht 1 – (Q 1) Da (1 – q) im Nenner ist, dann.

Hinweis: wenn q = 1, dann würde die Progression eine Reihe von endlos die Zahl Wiederholung dargestellt hat.

Menge exponentiell Beispiele: a ₁ = 2, q = -2. Berechnen S _5.

Lösung: S ₅ = 22 – Berechnungsformel.

• Betrag , wenn | q | <1 , und wenn Z gegen Unendlich.

Beispiel: a ₁ = _2, q = 0,5. Finden Sie die Summe.

Lösung: S _z = 2 x = 4

Wenn wir die Summe von mehreren Mitgliedern des Handbuchs zu berechnen, werden Sie sehen, dass es in der Tat zu vier begangen wird.

S _z = 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 3,9375 4

Einige Eigenschaften:

• Eine charakteristische Eigenschaft. Wenn die folgende Bedingung Es gilt für jeden z, dann eine numerische Reihe gegeben – eine geometrische Progression:

a _z ² = A _{z -1} · A _{z + 1}

• Es ist auch das Quadrat einer Zahl ist exponentiell durch Addition der Quadrate der anderen zwei Zahlen in jeder gegebenen Reihe, wenn sie von dem Elemente äquidistant sind.

² a _z = a _{z – t} ² ₊ a _z + _t ² , wobei t – der Abstand zwischen diesen Zahlen.

• Die Elemente unterscheiden sich von q – mal.
• Die Logarithmen der Elemente Progressionsform als auch einen Verlauf, aber die Arithmetik, das heißt, jeder von ihnen mehr als die vorhergehende durch eine bestimmte Anzahl.

Beispiele für einige klassische Probleme

Um besser zu verstehen, was eine geometrische Progression, mit den Entscheidungs Beispielen für Klasse 9 helfen kann.

• Bedingungen: a ₁ = 3, ₃ = 48. Suche q.

Lösung: jedes aufeinanderfolgende Element in mehr als die vorherigen q Zeit. Es ist notwendig , einige Elemente durch andere über Nenner auszudrücken.

Folglich wird ein ₃ = q ² · a ₁

Beim Einsetzen q = 4

• Bedingungen: a ₂ = 6, a = ₃ 12. berechnen S _6.

Lösung: Um dies zu tun, genügt es , q, um das erste Element und Ersatz in die Formel zu finden.

a ₃ = q · a _2, folglich q = 2

a ₂ = q · A _1, so a = ₁ 3

S = ₆ 189

• · A ₁ = 10, q = -2. Finden Sie das vierte Element der Progression.

Lösung: Es ist genug , um das vierte Element durch die ersten und durch den Nenner zu exprimieren.

₄ a ³ = q · a = ₁ -80

Anwendungsbeispiel:

• Bankkunden haben die Summe von 10.000 Rubel beigetragen, unter denen jedes Jahr der Client an den Kapitalbetrag wird jedoch 6% davon hinzugefügt werden. Wie viel Geld ist auf dem Konto nach 4 Jahren?

Lösung: Der ursprüngliche Betrag in Höhe von 10 Tausend Rubel. Also, ein Jahr nach den Investitionen in dem Konto wird den Betrag in Höhe von 10000 + 10000 = 10000 · 0,06 · 1,06

Dementsprechend wird der Betrag auf dem Konto auch nach einem Jahr wie folgt ausgedrückt werden:

(10000 · 1,06) · 10000 · 0,06 + 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

Das heißt, jedes Jahr die Menge auf die 1,06-fache erhöht. Daher die Nummer des Kontos nach 4 Jahren zu finden, genügt es, eine viertes Element Progression zu finden, die zu 10 Tausenden gleich erstes Element gegeben wird, und den Nenner gleich 1,06.

S = 1,06 · 1,06 · 1,06 · 1,06 · 10000 = 12625

Beispiele für Probleme bei der Berechnung der Summe aus:

In verschiedenen Probleme bei der Verwendung geometrischer Progression. Ein Beispiel für die Summe der Suche kann wie folgt eingestellt werden:

a ₁ = 4, q = 2, S _{5 berechnen.}

Lösung: alle notwendigen Daten für die Berechnung bekannt sind, sie einfach in die Formel ersetzen.

S ₅ = 124

• a ₂ = 6, a = ₃ 18. Berechne die Summe der ersten sechs Elemente.

Lösung:

Die Geom. die Fortschritte der einzelnen Elemente des nächst größeren als die vorherigen q mal, dass ist die Menge berechnen müssen Sie das Element a ₁ und den Nenner q kennen.

₂ · q = a ₃

q = 3

In ähnlicher Weise ist die Notwendigkeit , a _1, a ₂ und wissenden q zu finden.

a ₁ · q = a ₂

a ₁ = 2

Und dann genügt es , die bekannten Daten in die Formel Menge zu ersetzen.

S ₆ = 728.