Reguläre Polyeder: Elemente Symmetrie und Bereich

Die Geometrie ist schön, weil, im Gegensatz zu Algebra, die nicht immer klar ist, warum und was Sie denken, ein visuelles Objekt gibt. Diese wunderbare Welt der verschiedenen Einrichtungen schmücken die regulären Polyeder.

Allgemeine Informationen über die regulären Polyeder

Nach Meinung vieler, regelmäßige Polyeder, oder wie sie platonischen Körper genannt werden, besitzen einzigartige Eigenschaften. Mit diesen Objekten mehrere wissenschaftliche Hypothesen verbunden. Wenn Sie die geometrischen Daten des Körpers zu studieren beginnen, merkt man, dass fast nichts wissen über ein solches Konzept wie die regulären Polyeder. Die Präsentation dieser Objekte in der Schule ist nicht immer interessant, so viele nicht einmal daran erinnern, wie sie genannt wurden. In Erinnerung an den meisten Menschen ist es nur ein Würfel. Keiner der Körpergeometrie besitzt nicht so perfekt wie regelmäßige Polyeder. Alle Namen dieser geometrischen Körpern stammt aus dem antiken Griechenland. Sie repräsentieren die Anzahl der Flächen: der Tetraeders – vierseitiges, Hexaeder – Allen, Oktaeder – Achteck, Dodekaeder – Dodekaeder, Ikosaeder – ikosaedrischen. Alle diese geometrischen Körpers einnimmt des Universums einen wichtigen Platz in Platons Konzeption. Vier von ihnen sind Elemente oder Einheiten verkörpert: das Tetraeders – das Feuer, das Ikosaeder – Wasserwürfel – Erde, Oktaeder – Luft. Dodekaeder verkörpert alles. Er war der Haupt, als Symbol des Universums betrachtet.

Die Verallgemeinerung des Konzepts eines Polyeder

Polyeder ist eine endliche Menge von Polygonen, so dass:

• jede der Seiten von jedem der Polygone ist gleichzeitig nur eine Seite eines anderen Polygons auf der gleichen Seite;
• von jedem der Polygone Sie auf die andere, indem daran angrenzenden Polygone gehen kann.

Polygone, die das Polyeder repräsentiert seine Flächen und ihre Seite – Rippen. Polyeder Eckpunkte sind die Eckpunkte der Polygone. Wenn der Begriff Polygon flach geschlossene Polylinien verstehen, dann kommen Sie zu einer Definition eines Polyeder. In dem Fall, in dem die von diesem Begriff ist, einen Teil der Ebene zu verstehen, die durch gestrichelte Linien begrenzt ist, wird es Oberfläche polygonalen Stücken bestehend verstanden werden. Konvexes Polyeder ist, den Körper auf der einen Seite der Ebene, angrenzend an seinen Flächen liegend bezeichnet.

Eine andere Definition eines Polyeders und seine Elemente

Polyeder genannt Fläche von Polygonen besteht, die die geometrischen Körper begrenzt. Es sind dies:

• nichtkonvexe;
• konvex (richtig und falsch).

Regelmäßige Polyeder – ein konvexer Polyeder mit maximaler Symmetrie. Die Elemente der regulären Polyeder:

• Tetrahedron: 6 Rippen 4 Flächen 5 Vertices;
• Hexaeder (Würfel) 12, 6, 8;
• Dodekaeder 30, 12, 20;
• 12 Oktaeder, 8, 6;
• Ikosaeder 30, 20, 12.

Satz von Euler

Es stellt eine Beziehung zwischen der Anzahl der Kanten, Ecken und Flächen zu einer Kugel topologisch äquivalent ist. Addieren die Anzahl von Scheitelpunkten und Flächen (B + D) unterschiedliche regelmäßige Polyeder und sie mit der Anzahl der Rippen zu vergleichen, ist es möglich, eine Regel zu setzen: Die Summe der Anzahl der Flächen gleich die Anzahl der Ecken und Kanten (P) um 2. Es ist möglich, eine einfache Formel abzuleiten:

• B + D = P + 2.

Diese Formel gilt für alle konvexen Polyeder.

grundlegende Definitionen

Das Konzept eines regelmäßigen Polyeder ist unmöglich, in einem Satz zu beschreiben. Es ist mehr geschätzt und Volumen. Ein Körper als solche erkannt werden, ist es notwendig, dass es eine Reihe von Definitionen entspricht. Somit wird ein geometrischer Körper ein regelmäßiger Polyeder, wenn diese Bedingungen erfüllt sind:

• es ist konvex;
• die gleiche Anzahl von Rippen konvergiert an jedem seiner Scheitelpunkte;
• alle Facetten seiner – regelmäßige Polygone, gleich zueinander sind;
• Alle Diederwinkeln sind gleich.

Eigenschaften von regulären Polyeder

Es gibt 5 verschiedene Arten von regulären Polyeder:

1. Cube (Hexaeder) – sie hat einen flacher Spitzenwinkel 90 ° beträgt. Es hat einen 3-Seiten-Winkel. Menge Flächenwinkel an der Spitze von 270 °.
2. Tetrahedron – flache Scheitelwinkel von – 60 °. Es hat einen 3-Seiten-Winkel. Menge Flächenwinkel am Scheitel – 180 °.
3. Oktaeder – flache Scheitelwinkel von – 60 °. Es hat einen vierseitigen Winkel. Menge Flächenwinkel am Scheitel – 240 °.
4. Dodekaeder – ein flacher Spitzenwinkel von 108 °. Es hat einen 3-Seiten-Winkel. Menge Flächenwinkel am Scheitel – 324 °.
5. Ikosaeder – es hat einen flachen Scheitelwinkel von – 60 °. Es verfügt über einen fünfseitigen Winkel. Menge Flächenwinkel an der Spitze von 300 °.

Der Bereich der regulären Polyeder

Der Oberflächenbereich des geometrischen Körpers (S) als ein regelmäßiger Vieleck Bereich durch die Anzahl der Facetten (G) multipliziert, berechnet:

• S = (a: 2) x 2G CTG π / p.

Das Volumen eines regelmäßigen Polyeder

Dieser Wert wird durch Multiplikation des Volumens einer regelmäßigen Pyramide, deren Basis ein reguläres Polygon, die Anzahl der Flächen berechnet, und seine Höhe ist der eingeschriebene Radius der Kugel (r):

• V = 1: 3RS.

Die Volumina der regulären Polyeder

Wie jede andere geometrische feste, regelmäßige Polyeder haben unterschiedliche Volumina. Im Folgenden sind Formeln, mit denen sie berechnen kann:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• Oktaeder: α x 3√2: 3;
• Ikosaeder; α x 3;
• Hexaeder (Würfel): α x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• Dodekaeder: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Die Elemente der regulären Polyeder

Hexahedron und Oktaeder sind Dual geometrische Körper. Mit anderen Worten, können sie aus sich im Fall erhalten, dass der Schwerpunkt eines als die Oberseite des anderen genommen, und umgekehrt. Zudem sind die Dual-Ikosaeder und Dodekaeder. Sich nur Tetraeders ist dual. Gemäß dem Verfahren von Euclid durch Konstruieren „Dächer“ auf den Flächen des Würfels aus einem Dodekaeder Hexaeder erhalten werden. Die Eckpunkte des Tetraeders sind beliebige 4 Eckpunkte des Würfels, nicht benachbarte Paare entlang der Kante. Von Hexaeder (Würfel) erhalten, und andere regelmäßige Polyeder werden. Trotz der Tatsache , dass regelmäßige Polygone gibt es unzählige, regelmäßige Polyeder gibt es nur 5.

Die Radien der regelmäßigen Polygonen

Mit jedem dieser geometrischen Körper verbundenen konzentrischen Kugeln 3:

• beschrieben durch die Knoten verläuft;
• in Bezug auf jede seiner Flächen in der Mitte davon eingeschrieben;
• Median über alle Kanten in der Mitte.

Der Radius der durch die folgende Formel beschrieben Kugel berechnet wird:

• R = a: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

Der Radius des einbeschriebenen Kugel berechnet sich wie folgt:

• R = a: 2 x CTG π / p x tg θ: 2,

wobei θ – Diederwinkel, die zwischen benachbarten Facetten ist.

Der mittlere Radius der Kugel kann unter Verwendung der folgenden Formel berechnet werden:

• ρ = a cos π / p: 2 sin π / h,

wobei h = die Größe von 4,6, 6,10 oder 10. Das Verhältnis der Radien des beschriebenen bezeichnet und symmetrisch in Bezug auf p und q. Es wird wie folgt berechnet:

• R / r = tg π / p x tg π / q.

Die Symmetrie von Polyedern

Die Symmetrie des regulären Polyeder ist von primärem Interesse an diesen geometrischen Körper. Es wird als eine Bewegung des Körpers im Raum verstanden, welche die gleiche Anzahl von Scheitelpunkten, Kanten und Flächen verläßt. Mit anderen Worten, unter dem Einfluss der Symmetriekanten Transformations, Scheitel oder Gesicht behält seine ursprüngliche Position zurück, oder bewegt sich in die Ausgangsposition eines anderen Rippe, die anderen Ecken oder Flächen.

Symmetrieelemente des regulären Polyeder sind, die für alle Arten von geometrischen Körpern. Hier ist es auf der Identitäts-Transformation durchgeführt, die jeden der Punkte in der ursprünglichen Position verläßt. Also, wenn Sie das polygonale Prisma drehen kann einige Symmetrien bekommen. Jeder von ihnen kann als das Produkt der Reflexion dargestellt werden. Symmetrie, die das Produkt aus einer geraden Anzahl von Reflexionen, die so genannten direkt. Wenn es das Produkt aus einer ungeraden Anzahl von Reflexionen ist, dann wird es Rückkopplung bezeichnet. Somit sind alle Windungen um die Linie repräsentieren gerade Symmetrie. Jede Reflexion Polyeder – ist die inverse Symmetrie.

Zum besseren Verständnis der Symmetrieelemente des regulären Polyeder zu verstehen, können Sie das Beispiel des Tetraeders nehmen. Jede Zeile , die durch eine der Ecken und die Mitte der passiert geometrischen Form, stattfindet, und durch die Mitte der Kante gegenüber ihm. Jede der Windungen 120 und 240 ° um die Linie gehört zu der mehrere tetraedrischen Symmetrie. Da es vier Ecken und Flächen, erhalten wir insgesamt acht direkten Symmetrien. Jede der Linien, die durch die Mitte der Kanten verlaufen und die Mitte des Körpers, es geht durch die Mitte des gegenüberliegenden Randes. Jede Drehung von 180 °, eine so genannte Halbdrehung um eine gerade Symmetrie. Da die Tetraeders drei Paare von Rippen hat, erhalten Sie drei Symmetrielinien. Basierend auf dem oben genannten, können wir, dass die Gesamtzahl der direkt Symmetrie schließen, und einschließlich der Identitätstransformation wird bis zu zwölf sein. Andere direkte Symmetrie Tetraeders nicht existiert, aber es hat 12 inverse Symmetrie. Folglich können nur 24 gekennzeichnet Tetraeders Symmetrien. Aus Gründen der Klarheit können wir ein Modell eines regelmäßigen Tetraeders aus Pappe bauen und sicherzustellen, dass es der geometrische Körper ist wirklich nur 24 Symmetrie hat.

Dodekaeder und Ikosaeder – am nächsten an den Körperbereich. Ikosaeder hat die größte Anzahl von Flächen, die Flächenwinkel und vor allem kann fest klammern sich an die eingezeichneten Kugel. Dodekaeder haben den niedrigste Winkelfehler größten Raumwinkel am Scheitel. Es kann maximiert im Umkugel zu füllen.

Scannen Polyeder

Regelmäßige Polyeder-Scan, die wir alle zusammen in der Kindheit stecken, haben viele Konzepte. Wenn es ein Satz von Polygonen ist, wobei jede Seite mit nur einer Seite des Polyeders identifiziert ist, muß die Identifikation der Parteien mit zwei Bedingungen erfüllen:

• jedes Polygons, können Sie die Identifikation der Seite eines Polygons gehen zu müssen;
• identifizierbare Seite sollte die gleiche Länge haben.

Es ist ein Satz von Polygonen, die diese Bedingungen erfüllen, und ist ein Polyeder Scan genannt. Jeder dieser Körper hat mehrere von ihnen. Zum Beispiel kann ein Würfel, von denen es 11 Stück.