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sine Theorem. Lösung der Dreiecke

In der Studie der Dreiecke unfreiwillig ist es eine Frage der Beziehung zwischen ihren Seiten und Winkeln zu berechnen. In der Geometrie der Satz von Cosinus gibt und Sinus- die vollständigste Antwort auf das Problem. Die Fülle verschiedener mathematischer Ausdrücke und Formeln, Gesetze, Sätze und Regeln sind so, dass verschiedene außergewöhnliche Harmonie, prägnant und leicht in ihnen einen Gefangenen zu ernähren. Sine Satz ist ein gutes Beispiel für eine solche mathematische Formulierung. Wenn die verbale Interpretation und doch gibt es ein gewisses Hindernis für das Verständnis der mathematischer Regeln, wenn Sie auf einer mathematische Formel schauen alle auf einmal fällt es einrastet.


Die ersten Informationen über diesen Satz wurden in Form von Beweisen für sie im Rahmen der mathematischen Arbeit von Nasir al-Din al-Tusi, aus dem dreizehnten Jahrhundert.

Nähern näher an die Beziehung zwischen Seiten und Winkeln in jedem Dreieck, ist es erwähnenswert, dass der Sinussatz uns viele mathematischen Probleme lösen kann, und die Geometrie des Gesetzes findet Anwendung in einer Vielzahl von praktischer menschlicher Tätigkeit.

Sie sine Theorem besagt, dass für jedes Dreieck durch Proportionalität Seiten gegenüberliegenden Ecken sines gekennzeichnet ist. Es gibt auch einen zweiten Teil dieses Satzes, nach denen das Verhältnis von jeder Seite des Dreiecks gegenüber dem Sinus des Winkels gleich ist dem Durchmesser des Kreises über das Dreieck unter Berücksichtigung beschrieben.

In einer Formel sieht dieser Ausdruck wie

a / sinA = b / sinB = c / SINC = 2R

Es hat Beweis des Satzes von Sinus-, die in verschiedenen Versionen der verfügbaren Lehrbücher in einer reichen Vielfalt von Versionen.

Betrachten wir zum Beispiel einer der Beweise, um eine Erklärung des ersten Teils des Satzes geben. Um dies zu tun, werden wir fragen Treue zum Ausdruck a beweisen sINC = c sinA.

In einem beliebigen Dreieck ABC, konstruiert die Höhe BH. In einer Ausführungsform liegen wird das Konstrukt H auf dem Segment AC, und die andere außerhalb davon, abhängig von der Größe des Winkels an den Scheiteln der Dreiecke. Im ersten Fall kann die Höhe durch die Winkel und die Seiten des Dreiecks ausgedrückt werden, wie BH und ein sinc BH = c sinA, die die erforderlichen Nachweise für =.

Wenn der H-Punkt außerhalb des Segments AC ist, können wir die folgenden Lösungen erhalten:

BH = ein sinc und VL = c sin (180-A) = c sinA;

oder BH = a sin (180-C) = sinc und und VL = c sinA.

Wie Sie, unabhängig von Gestaltungsmöglichkeiten sehen können, kommen wir zu dem gewünschten Ergebnis.

Der Beweis des zweiten Teils des Satzes wird uns erfordert einen Kreis um das Dreieck zu beschreiben. Durch eine der Dreieckshöhen, zum Beispiel B, baut ein Kreisdurchmesser. Der resultierende Punkt auf dem Kreis D ist an einer von einer Höhe des Dreiecks verbunden ist, lassen diese sich der Punkt A des Dreiecks sein.

Wenn wir die erhaltenen Dreiecke ABD und ABC betrachten, können wir die Gleichheit der Winkel C und D sehen (sie auf dem gleichen Bogen basieren). Und da der Winkel A zu neunzig Grad des sin D = c / 2R oder sin C = c / 2R, QED gleich ist.

Sine Satz ist der Ausgangspunkt für eine Vielzahl unterschiedlicher Aufgaben. Eine besondere Attraktion ist ihre praktische Anwendung, als logische Folge von Satz wir sind in der Lage, den Wert der Dreiecksseiten zu beziehen, gegenüberliegenden Winkel und der Radius (Durchmesser) eines Kreises um das Dreieck umschrieben. Die Einfachheit und die Verfügbarkeit der Formel diesen mathematischen Ausdruck beschreibt, erlaubte weithin diesen Satz zu verwenden , um die Probleme mit Hilfe verschiedener mechanischer Vorrichtungen zählbar zu lösen (Rechenschieber, Tabellen und so weiter.), Aber auch die Ankunft der Servicetechniker leistungsstarken EDV – Geräte sind nicht Relevanz dieses Satzes gesenkt.

Dieser Satz ist nicht nur ein Teil des erforderlichen Verlaufs der High-School-Geometrie, später aber in einigen Branchen der Praxis eingesetzt.