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Das ist Tangente an den Kreis? Eigenschaften der Tangente an den Kreis. Die gemeinsame Tangente zu den zwei Kreisen

Sekanten, Tangenten – all dies hunderte Male auf den Geometrieunterricht zu hören war. Aber die Frage der Schule hinter, übergeben Sie das Jahr, und dieses Wissen in Vergessenheit geraten. Was soll ich schon vergessen?

Essenz

Der Begriff „Tangente an den Kreis“ Zeichen, vielleicht, alles. Aber es ist unwahrscheinlich, dass alle schnell eine Definition formulieren. Unterdessen bezeichnet als der Kreis eine Tangentenlinie in der gleichen Ebene liegen, die ihn nur an einem Punkt schneidet. Ihre unzähligen existieren, aber sie alle haben die gleichen Eigenschaften, die weiter unten erörtert wird. Wie Sie sich vorstellen können, bezeichnet der Kontaktpunkt zu dem Ort, an dem sich der Kreis und die Linie schneiden. In jedem Fall ist es ein, wenn es mehr ist, dann wird es transversal sein.

Die Geschichte der Entdeckung und Untersuchung

Das Konzept einer Tangente erschien in der Antike. Der Aufbau dieser Zeilen zu dem ersten Kreis und dann auf die Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln mit einem Lineal und einem Kompass noch in den frühen Phasen der Entwicklung der Geometrie gehalten. Natürlich hat die Geschichte nicht mit dem Namen des Entdeckers erhalten, aber es ist klar, dass auch zu dieser Zeit auch Eigenschaften der Tangente an den Kreis bekannt Menschen wurden.

In der heutigen Zeit brach das Interesse an diesem Phänomen wieder heraus – begann eine neue Runde der Studie dieses Konzepts in Verbindung mit der Eröffnung der neuen Kurven. So führte Galileo das Konzept der zykloiden und Fermat und Descartes eine Tangente an gebaut. Wie für die Kreise, wie es scheint, ist für die alten Geheimnisse in diesem Bereich links.

Eigenschaften

Radius zum Schnittpunkt gezogen wird , um die Linie senkrecht. Das Haupt, aber nicht die einzige Eigenschaft, die Tangente an den Kreis ist. Ein weiteres wichtiges Merkmal beinhaltet bereits zwei Geraden. So, über einen einzigen Punkt, der außerhalb des Kreises liegt, ist es möglich, zwei Tangenten zu ziehen, und ihre Längen sind gleich. Es gibt einen anderen Satz zu diesem Thema, aber es ist selten im Rahmen der Standard-Schulkurs gehalten, aber es ist äußerst nützlich für die Lösung bestimmter Probleme. Es geht wie folgt. Von einem Punkt außerhalb des Kreises befindet, eine Tangente ziehen und es Sekante. Gebildet Segmente AB, AC und AD. A – der Schnittpunkt der Linien, B der Tangentenpunkt, C und D – Kreuzung. In diesem Fall ist die folgende Gleichung gilt: die Länge der Tangente an den Kreis, Quadrat, gleich das Produkt aus den Segmenten AC und AD.

Aus dem Vorstehenden ist es eine wichtige logische Folge. Für jeden Punkt des Kreises, können Sie eine Tangente, bauen aber nur eine. Der Beweis dafür ist ganz einfach: in der Theorie bis es senkrecht von dem Radius, finden wir heraus, dass ein Dreieck gebildet nicht existieren kann. Und das bedeutet, dass die Tangente – die einzige.

Gebäude

Unter anderen Aufgaben in der Geometrie ist eine besondere Kategorie, in der Regel nicht wird von Schülern und Studenten beliebt. Um die Aufgaben dieser Kategorie lösen müssen nur einen Kompass und ein Lineal. Es ist die Aufgabe des Gebäudes. Dort bauen sie auf einer Tangente.

Also, einen Kreis und einen Punkt, der außerhalb ihrer Grenzen gegeben. Und Sie müssen durch sie Tangente navigieren. Wie tun Sie es? Zunächst einmal müssen Sie den Abstand zwischen der Mitte des Kreises O und Sollwert verbringen. Dann wird mit Hilfe eines Kompasses sollte es in zwei Hälften teilen. Um dies zu tun, müssen Sie den Radius einstellen – etwas mehr als die Hälfte den Abstand zwischen der Mitte des Kreises und der ursprünglichen Stelle. Dann müssen Sie zwei sich schneidende Bögen zu bauen. Der Radius an der Änderung soll nicht der Kompass sein, und die Mitte jeder Seite des Kreises wird der ursprüngliche Punkt und O jeweils sein. Orte arcs Kreuzungen müssen diesen Abschnitt in der Hälfte verbinden. Fragen Sie an der Kompass Radius gleich dem Abstand. Ferner kann mit der Mitte an der Kreuzung eines anderen Kreis zu bauen. Es wird sowohl auf dem ursprünglichen Punkt basieren und O. In diesem Fall wird es in einem Kreis zwei Kreuzungen mit diesem Problem. Dass sie für die eingangs genannten Punkt Berührungspunkte sein.

interessant

Es ist eine Tangente an den Kreis den Bau führte zur Geburt Differentialrechnung. Die erste Arbeit zu diesem Thema wurde von dem berühmten deutschen Mathematiker Leibniz veröffentlicht. Es sieht die Möglichkeit, die Maxima, Minima und Tangenten zu finden, unabhängig von den fraktionierten und irrationalen Mengen. Nun, jetzt ist es für viele andere Berechnungen verwendet.

Darüber hinaus ist die Tangente an den Kreis mit dem geometrischen Tangente Sinne verbunden. Es ist von diesem, und der Name kommt. Übersetzt aus dem Lateinischen Tangens – „Tangente“. Somit ist dieses Konzept nicht nur eine Geometrie und Differentialrechnung, sondern mit Trigonometrie.

zwei Kreise

Nicht immer Tangente zatragivet nur eine Figur. Wenn Sie eine große Anzahl von Linien zu einem Kreis verbringen, warum dann nicht umgekehrt? Möglich. Das ist nur das Problem in diesem Fall ernsthaft kompliziert ist, weil die Tangente an die beiden Kreise nicht durch einen beliebigen Punkt passieren kann, und die relative Position aller dieser Zahlen kann sehr anders.

Arten und Sorten

Wenn es um die beiden Kreise und eine oder mehrere Leitungen kommt, dann, auch wenn Sie wissen, dass es sich handelt, ist nicht sofort klar, wie alle diese Stücke in Bezug zueinander angeordnet sind. Auf dieser Basis gibt es mehrere Sorten. So kann der Kreis hat eine oder zwei gemeinsame Punkte, oder gar keine. Im ersten Fall werden sie sich überlappen, und die zweite – zu berühren. Und hier sind zwei Sorten. Wenn ein Kreis, wie es in den zweiten eingebettet wurde, wird die Touch-interne genannt, wenn nicht – dann ist die Außenseite. Verstehen Sie die relative Position der Stücke kann nicht nur anhand der Zeichnung, sondern mit Informationen über die Summe ihrer Radien und der Abstand zwischen ihren Zentren. Wenn diese beiden Werte gleich sind, dann berühren sich die Kreise. Wenn die ersten mehr – schneiden und sonst – keine gemeinsamen Punkte.

So ist es mit geraden Linien. Für zwei beliebige Kreise können keine gemeinsamen Punkte haben sein
vier Tangenten bauen. Zwei von ihnen zwischen den Figuren überlappen, werden sie intern genannt. Ein paar andere – extern.

Wenn wir über Kreise sprechen, die einen Punkt gemeinsam haben, das Problem ernsthaft vereinfacht. Tatsache ist, dass in jeder gegenseitigen Anordnung, in diesem Fall die Tangente sie nur eine hat. Und es wird durch den Schnittpunkt passieren. So dass das Gebäude nicht zu Schwierigkeiten führen.

Wenn die Zahlen zwei Schnittpunkte sind, dann können sie mit dem Kreis als eine eingebaute Tagente werden, und die zweite, aber nur außerhalb. Die Lösung für dieses Problem ist ähnlich dem, was später diskutiert wird.

Bewältigung der Herausforderungen

Sowohl interne als auch externe Tangente an die beiden Kreise im Gebäude ist nicht so einfach, aber, und das Problem ist gelöst. Die Tatsache, dass das Hilfsmuster für diese verwendet wird, so gedacht, um eine solche Methode allein Es ist ziemlich problematisch. Also, da zwei Kreise mit unterschiedlichen Radien und Zentren O1 und O2. Für sie, die Notwendigkeit, zwei Paare von Tangenten zu bauen.

Vor allem um die Mitte des größeren Kreises zu bauen unterstützend. Zur gleichen Zeit auf dem Kompass muss die Differenz zwischen den Radien der beiden ursprünglichen Zahlen eingestellt werden. Von der Mitte des kleineren Kreis tangential zu dem Hilfs aufgebaut. Danach von O1 und O2 sind perependikulyary diese direkt an die Kreuzung mit den ursprünglichen Zahlen gehalten. Wie aus den Grundeigenschaften des Tangens folgt, werden die erforderlichen Punkte auf beiden Kreisen. Das Problem ist, zumindest in seinem ersten Teil gelöst.

Um interne Tangenten zu bauen fast lösen ein ähnliches Problem. Auch hier müssen wir eine Hilfsfigur, aber diesmal ihren Radius auf die Summe der ursprünglichen Wert entspricht. Zu ihrer Tangente von der Mitte eines dieser Kreise zu konstruieren. Der weitere Verlauf der Entscheidung kann aus dem vorherigen Beispiel zu verstehen.

Die Tangente an den Kreis, oder sogar zwei oder mehr – ist nicht so eine schwierige Aufgabe. Natürlich haben die Mathematiker schon lange nicht mehr ähnliche Probleme manuell zu lösen und spezielle Programme vertrauen berechnen. Aber glaube nicht, dass es jetzt nicht unbedingt in der Lage sein, es selbst zu tun, denn für eine korrekte Formulierung der Aufgabe für den Computer viel zu tun und verstehen. Leider gibt es Befürchtungen, dass nach dem letzten Übergang zum Testform von Wissen Kontrollprobleme auf dem Bau die Schüler mehr verursachen und mehr Schwierigkeiten.

Was die gemeinsame Tangenten mehr Kreise zu finden, ist es nicht immer möglich, auch wenn sie in der gleichen Ebene liegen. Aber in einigen Fällen ist es möglich, eine solche Linie zu finden.

Beispiele aus

Die gemeinsame Tangente an die beiden Kreise wird oft in der Praxis gefunden, obwohl es nicht immer klar ist. Förderer, modulare Systeme, Antriebsriemen Riemenscheiben, Spannung des Fadens in einer Nähmaschine, aber auch nur ein Fahrradkette – alle Beispiele des Lebens. Also glaube nicht, dass geometrische Probleme bleiben nur in der Theorie: in Maschinenbau, Physik, Bau und in vielen anderen Bereichen sind in der praktischen Anwendung.